Stronę tą wyświetlono już: 50360 razy
Podstawowe cechy szczególne
Każdy kąt wewnętrzny pięciokąta foremnego jest równy 108°, zaś jego środek ciężkości, środek okręgu opisanego, środek okręgu wpisanego, punkt przecięcia się symetralnych boków oraz punkt przecięcia się symetralnych kątów wewnętrznych pięciokąta foremnego znajdują się w jednym i tym samym punkcie Sc. Pięciokąt foremny, jest wielokątem foremnym o największej liczbie boków, którego wszystkie przekątne p mają takie same długości. Wszystkie przekątne łączą się z sobą tworząc figurę geometryczną zwaną pentagramem. Każda symetralna s boku pięciokąta foremnego jest równocześnie symetralną jego kąta wewnętrznego.
Stosunek długości przekątnej p do długości boku a pięciokąta foremnego jest dany następującą zależnością:
gdzie φ jest to liczba złota, której wartość wynosi około 1,6180339887...
Trójkąty równoramienne o ramionach długości przekątnej p i buku długości a oraz o długości ramion długości boku a oraz ramionach długości c są nazywane trójkątami złotymi. Każdy trójkąt równoramienny, którego kąt znajdujący się pomiędzy ramionami jest równy 108° lub 36° jest trójkątem złotym.
Opis oznaczeń:
- A, B, C, D, E - wierzchołki pięciokąta foremnego;
- F, G, H, I, J - punkty przecięcia się symetralnych s z bokami a pięciokąta foremnego;
- Sc - środek ciężkości, środek okręgu opisanego na i wpisanego w pięciokąt foremny oraz punkt przecięcia się symetralnych;
- a - boki pięciokąta foremnego;
- p - przekątne pięciokąta foremnego;
- s - symetralne pięciokąta foremnego;
- α - kąt wewnętrzny pięciokąta foremnego;
- Rw - promień okręgu wpisanego w pięciokąt foremny;
- Ro - promień okręgu opisanego na pięciokącie foremnym.
Boki pentagramu można podzielić na mniejsze części c i b tak, jak uczyniłem to ja na rysunku 2. Teraz wystarczy zauważyć, że trójkąty równoramienne o długości ramion c i długości boku b są również trójkątami złotymi, aby móc napisać następującą, prawdziwą równość:
![]() | [2] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Powyższe zależności wynikają z istnienia sporej liczby trójkątów złotych w pentagramie wraz z pięciokątem. Dodać tylko mogę, że istnieje taka oto równość, pomiędzy długościami a, b i c:
Zależność [3] wynika choćby z trójkąta ABH, który jak się okazuje, jest trójkątem złotym co wykazać można badając jego kąty wewnętrzne. Dociekanie tego jakże złożonego zagadnienia pozostawię Czytelnikowi, aby mu się nie nudziło.
Opis oznaczeń:
- A, B, C, D, E - wierzchołki pięciokąta foremnego;
- F, G, H, I, J - punkty przecięcia się symetralnych s z bokami a pięciokąta foremnego;
- Sc - środek ciężkości, środek okręgu opisanego na i wpisanego w pięciokąt foremny oraz punkt przecięcia się symetralnych;
- a - boki pięciokąta foremnego;
- c, b - odcinki składające się na przekątną pięciokąta foremnego oraz na boki pentagramu;
- α - kąt wewnętrzny pięciokąta foremnego;
- β - kąt wewnętrzny pentagramu;
- γ - kąt zewnętrzny pentagramu;
- Rw - promień okręgu wpisanego w pięciokąt foremny;
- Ro - promień okręgu opisanego na pięciokącie foremnym.
Podstawowe wzory
Pięciokąt foremny
Obwód pięciokąta foremnego:
Pole powierzchni pięciokąta foremnego można obliczyć z następującego wzoru:
![]() | [5] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Promień okręgu opisanego na pięciokącie foremnym:
Promień okręgu wpisanego w pięciokąt foremny:
Długość przekątnej p a zarazem długość boku pentagramu wpisanego w pięciokąt:
Pentagram
Obwód pentagramu:
![]() | [9] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Zależność [9] wynika z zastosowania wzoru [2].
Pole powierzchni pentagramu jest równe polu powierzchni pięciu złotych trójkątów o długości boku równej c:
![]() | [10] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Również i w zależności [10] swój udział miał wzór [2] i liczba złotego podziału φ.
Opis oznaczeń:
- A, B, C, D, E, F, G, H, I, J - wierzchołki pentagramu;
- c, b - odcinki składające się na boki pentagramu;
- α - kąt wewnętrzny pięciokąta foremnego;
- β - kąt wewnętrzny pentagramu;
- γ - kąt zewnętrzny pentagramu;
Grafika żółwia - rysowanie pięciokąta i pentagramu
W Pythonie znajduje się moduł turtle, który umożliwia kreślenie figur geometrycznych. Oto kod programu, który wykreśli pięciokąt foremny:
Z kolei pentagram można wykreślić w sposób następujący:
Można też wykreślić pentagram wraz z pięciokątem:
Więcej na temat pisania programów w Pythonie oraz na temat grafiki żółwia można poczytać na stronie Programowanie → Podstawy Pythona → Grafika żółwia.