Stronę tą wyświetlono już: 158729 razy
Opis podstawowych wielkości charakterystycznych trójkątów
Trójkąty są podstawowymi jednostkami figur geometrycznych prostokreślnych płaskich, co oznacza, że każdy wielokąt płaski da się podzielić na trójkąty elementarne, które będą się nań składały.
Każdy trójkąt opisują następujące właściwości:
- długości boków - oznaczane małymi literkami a, b i c;
- miary kątów wewnętrznych - oznaczane małymi literkami alfabetu greckiego α, β i γ;
- wierzchołki trójkąta - oznaczane literami dużymi A, B i C;
- wysokości - oznaczane (przynajmniej przeze mnie) literką h z indeksem odnoszącym się do wierzchołka, z którego dana wysokość została spuszczona i boku, na który została spuszczona. A więc hA-a, hB-b i hC-c
- promień i środek okręgu wpisanego w trójkąt - oznaczane przez RW oraz SW;
- promień i środek okręgu opisanego na trójkącie - oznaczone przez RO oraz SO
Wysokości trójkątów są bardzo ważnymi ich cechami, albowiem znajomość długości jednej z nich oraz długości boku, na który ta wysokość została spuszczona umożliwia obliczenie pola powierzchni takiego trójkąta. Wysokość trójkąta jest to najkrótsza odległość jaką dzieli dany wierzchołek np. A do boku trójkąta a, którego dowolny koniec nie przynależy do wierzchołka A.
Z rysunku 2 widać, że każda wysokość spuszczona na dany bok trójkąta tworzy z tym bokiem kąt prosty, albowiem jest to warunkiem znalezienia najkrótszej możliwej odległości dzielącej dany wierzchołek od danego boku trójkąta.
Nie trudno jest zauważyć, że wszystkie wysokości przecinają się w jednym punkcie, który nazywany jest ortocentrum trójkąta. Położenie ortocentrum jest ściśle związane z typem trójkąta i tak dla:
- trójkąta ostrokątnego - ortocentrum leży wewnątrz tegoż trójkąta. W szczególnym przypadku trójkąta równoramiennego punkt barycentrum leży na symetralnych kątów i boków tegoż trójkąta;
- trójkąta prostokątnego - ortocentrum leży u zbiegu boków, pomiędzy którymi zawarty jest kąt 90°;
- trójkąta rozwartokątnego - ortocentrum leży poza obrębem trójkąta
W każdy trójkąt można wpisać jeden i tylko jeden okrąg, którego położenie środka wyznaczają sieczne kątów wewnętrznych jak widać to na rysunku 3.
Wzór na promień r okręgu wpisanego w trójkąt dowolny jest następujący:
gdzie:
- a, b, c - długości boków trójkąta;
- P - pole powierzchni trójkąta
Długość promienia RW okręgu wyznaczyć można poprzez spuszczenie punktu SW na dowolny bok danego trójkąta (wszystkie odległości w ten sposób uzyskane są sobie równe).
Na trójkącie można również opisać jeden i tylko jeden okrąg, którego środek wyznaczają symetralne jego boków, tak jak widoczne jest to na rysunku 4.
Wzór na promień R okręgu opisanego na trójkącie dowolnym:
gdzie:
- a, b, c - długości boków trójkąta;
- P - pole powierzchni trójkąta
lub
[3] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
gdzie:
α, β, γ - kąty znajdujące się naprzeciw boków (kolejno): a, b i c.
Promień RO określa odległość dzielącą punkt SO od dowolnego wierzchołka takiego trójkąta.
Pod względem długości boków i miary kątów wewnętrznych trójkąty można podzielić na:
- równoboczne;
- równoramienne;
- ostrokątne (wszystkie kąty wewnętrzne mniejsze od 90°);
- prostokątne (jeden kąt wewnętrzny jest równy 90° a pozostałe mniejsze);
- rozwartokątne (jeden kąt wewnętrzny jest większy od 90° a pozostałe mniejsze)
Podstawowe wzory
Obliczanie obwodu trójkąta
Nie będzie wielkim zaskoczeniem fakt, że obwód trójkąta można obliczyć sumując długości jego boków a, b i c za pomocą następującego niezwykle trudnego wzoru:
Aczkolwiek, możliwe jest również obliczenie tego samego, gdy dane są współrzędne wierzchołków takiego wektora. W takim albowiem przypadku można użyć wzoru następującej postaci:
[5] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Obliczanie pola powierzchni trójkąta
Dla dowolnego trójkąta można obliczyć jego pole powierzchni znając długość boku a i wysokości hA-a nań spuszczonej za pomocą następującego wzoru:
Znając współrzędne wierzchołków A, B i C trójkąta można obliczyć jego pole powierzchni korzystając z następującego wzoru:
[7] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Znając wartość kąta γ zawartego pomiędzy bokami a i b o znanych długościach tych boków można również obliczyć pole powierzchni takiego trójkąta z następującego wzoru:
Znając obwód L trójkąta oraz jego kąty wewnętrzne α, β i γ można obliczyć pole powierzchni w następujący sposób:
[9] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Znając obwód L i promień RW okręgu wpisanego w trójkąt pole powierzchni obliczyć można z wzoru:
Znając promień RW okręgu wpisanego w trójkąt oraz wartości kątów α, β oraz γ można obliczyć pole powierzchni trójkąta z wzoru:
[11] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Również znając promień RO okręgu opisanego na trójkącie oraz wartości jego kątów wewnętrznych α, β i γ można obliczyć pole powierzchni trójkąta korzystając z wzoru:
[12] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Znając same tylko długości boków i pamiętając o wzorze [4] można obliczyć pole powierzchni trójkąta w następujący sposób:
[13] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
W trójkącie równobocznym znając długość a jego boków można obliczyć jego pole powierzchni za pomocą wzoru:
W trójkącie prostokątnym, gdy znane są długości przyprostokątnych a i b pole powierzchni jest równe:
Wzór na sumę kątów
Suma kątów α, β i γ jest w układach euklidesowych zawsze równa 180°, co zapisuję poniżej w postaci wzoru:
W trójkącie prostokątnym, gdzie kąt γ przyjmuje wartość 90° można napisać następującą zależność:
[17] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Zależności długości boków i kątów w trójkącie prostokątnym
W trójkącie prostokątnym można wyróżnić szereg szczególnych zależności, do których niewątpliwie należy twierdzenie Pitagorasa i jego wzór:
Treść twierdzenia Pitagorasa: suma kwadratów długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej tego kwadratu.
Znane też są stosunki boków trójkąta i ich powiązania mafijne z wartością funkcji trygonometrycznej kąta.
Sinusem kąta α w trójkącie prostokątnym nazywa się stosunek przyprostokątnej a leżącej naprzeciw kąta α do przeciwprostokątnej c:
Kosinusem kąta α w trójkącie prostokątnym nazywa się stosunek przyprostokątnej b leżącej przy kącie α do przeciwprostokątnej c:
Tangensem kąta α w trójkącie prostokątnym nazywa się stosunek przyprostokątnej a leżącej naprzeciw kąta α do przyprostokątnej b leżącej przy kącie α:
Kotangensem kąta α w trójkącie prostokątnym nazywa się stosunek przyprostokątnej b leżącej przy kącie α do przyprostokątnej a leżącej naprzeciw kąta α:
Środek ciężkości trójkąta
Obliczenie środka ciężkości trójkąta sprowadza się do podzielenia sumy wektorów opisujących położenie jego wierzchołków przez 3: