Bryły Platońskie

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 19958 razy

Bryły Platońskie należą do dość szczególnego rodzaju brył, które spełniają następujące warunki:

Spełnienie powyższych warunków wymusza również fakt, że każda bryła tego typu będzie należała do zbioru brył wypukłych. Na podstawie powyższych warunków można stwierdzić, że istnieje jedynie 5 brył Platońskich, a są nimi:

  1. czworościan foremny tetraedr - składa się z czterech boków o kształcie trójkąta równobocznego;
  2. sześcian foremny heksaedr - składa się z sześciu boków o kształcie kwadratu;
  3. ośmiościan foremny oktaedr - składa się z ośmiu boków o kształcie trójkąta równobocznego;
  4. dwunastościan foremny dodekaedr - składa się z dwunastu boków o kształcie pięciokąta foremnego;
  5. dwudziestościan foremny ikosaedr - składa się z dwudziestu boków o kształcie trójkąta równobocznego.
a)Ilustracja czworościanu foremnego (tetraedr-u)b)Ilustracja sześciany foremnego (heksaedr-u)c)Ilustracja ośmiościanu foremnego (oktaedr-u)d)Ilustracja dwunastościanu foremnego (dodekaedr-u)e)Ilustracja czworościanu foremnego (ikosaedr-u)
Rys. 1
Bryły Platońskie zwane foremnymi, kolejno od lewej: a) czworościan foremny (tetraedr); b) sześcian foremny (heksaedr); c) ośmiościan foremny (oktaedr); d) dwunastościan foremny (dodekaedr); e) dwudziestościan foremny (ikosaedr).
Źródło:
Powyższe ilustracje zostały zaczerpnięte z bezkresnych zasobów Wikimedia Commons i są dostępne kolejno pod następującymi linkami: tetraedr; heksaedr; octaedr; dodekaedr i ikosaedr

Czworokąt foremny tetraedr

Tetraedr - Leonardo da VinciTetraedr - Leonardo da Vinci
Rys. 2
Mała reprodukcja mojego autorstwa pracy Leonarda da Vinci pokazującej tetraedr

Podstawowe cechy

Bryła ta ma 6 krawędzi i 4 wierzchołki a podstawowe jej parametry fizyczne można wyliczyć znając długość krawędzi boków a w następujący sposób:

pole powierzchni wszystkich boków czworościanu:

Wzór na pole powierzchni wszystkich boków czworościanu foremnego [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S=\sqrt{3}~a^2\approx 1,7321~a^2

objętość bryły:

Wzór na objętość czworościanu foremnego [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{\sqrt{2}} {12}~ {a^3}\approx 0,1179~a^3

wysokość h:

Wzór na wysokość czworościanu foremnego [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

h=a~\frac{\sqrt {24}}{6}=\frac{\sqrt 6}{3}~a\approx 0,8165~a

kąt α nachylenia krawędzi względem ściany, której krawędzią ona nie jest:

Kąt nachylenia krawędzi względem ściany czworościanu foremnego, która nie jest jego krawędzią [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\alpha=\arcsin\frac{\sqrt6}{3}\approx 54,7356^{\circ}"/> name="[4]

Promień R kuli opisanej na czworościanie foremnym:

Wzór na promień kuli opisanej na czworościanie foremnym [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

R=\frac{\sqrt{6}} {4}~a\approx 0,6124~a

Promień r kuli wpisanej w czworościanu foremnego:

Równanie [6] [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

r=\frac{\sqrt{6}} {12}~a\approx 0,2041~a

Promień δ kuli stycznej do krawędzi czworościanu foremnego:

Równanie [7] [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\delta=\frac{1}{4}\cdot a\cdot\sqrt{2}

Kąt między ścianami czworokąta:

Równanie [8] [8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\beta=\arcsin\frac{\sqrt{8}}{3}\approx 70,53^{\circ}

Siatka czworościanu foremnego

Stosowane są dwie wersje rozwinięcia siatki czworościanu, obie pokazane zostały na poniższym rysunku.

Rozwinięcie siatki czworościanu foremnego - wersja 1Rozwinięcie siatki czworościanu foremnego - wersja 2
Rys. 3
Dwie wersje rozwinięcia siatki czworościanu foremnego

Sześcian foremny heksaedr

Heksaedr - Leonardo da VinciHeksaedr - Leonardo da Vinci
Rys. 4
Mała reprodukcja mojego autorstwa pracy Leonarda da Vinci pokazującej heksaedr

Podstawowe cechy

Bryła składa się z 6-ciu przystających ścian kwadratowych, 12-stu krawędzi, 8-miu wierzchołków i czterech przekątnych.

Podstawowe wzory:

Objętość sześcianu:

Równanie [9] [9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=a^3

Pole powierzchni sześcianu:

Równanie [10] [10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S=6\cdot a

Wzór na promień r kuli wpisanej w sześcian foremny:

Równanie [11] [11]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

r=\frac{a}{2}

Wzór na promień R kuli opisanej na sześcianie foremnym:

Równanie [12] [12]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

r=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\sqrt{3}

Wzór na promień δ kuli stycznej do krawędzi sześcianu foremnego:

Równanie [13] [13]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\delta=a\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}

Wzór na długość przekątnej sześcianu:

Równanie [14] [14]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

d=a\cdot\sqrt{3}

Siatka sześcianu foremnego

Siatka sześcianu foremnego
Rys. 5
Siatka sześcianu foremnego

Ośmiościan foremny oktaedr

Oktaedr - Leonardo da VinciOktaedr - Leonardo da Vinci
Rys. 6
Mała reprodukcja mojego autorstwa pracy Leonarda da Vinci pokazującej oktaedr

Podstawowe cechy

Bryła ta składa się z ośmiu ścian o kształcie trójkąta równobocznego, 12-stoma krawędzi, 6 wierzchołków oraz 3-ech przekątnych.

Podstawowe wzory:

Objętość ośmiościanu foremnego:

Równanie [15] [15]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{\sqrt{2}} {3}~a^3\approx 0,4714~a^3

Pole powierzchni bocznej:

Równanie [16] [16]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S=2\sqrt{3}~a^2\approx 3,4641~a^2

Promień r kuli wpisanej w ośmiokąt foremny:

Równanie [17] [17]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

r=\frac{a} {6}\sqrt{6}\approx 0,4082~a

Promień R kuli opisanej na ośmiościanie foremnym:

Równanie [18] [18]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

R=\frac{a} {2}\sqrt{2}\approx 0,7071~a

Promień δ kuli stycznej do krawędzi ośmiościanu foremnego:

Równanie [19] [19]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\delta=\frac{a}{2}

Wysokość h określająca odległość pomiędzy równoległymi ścianami ośmioboku foremnego:

Równanie [20] [20]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

h=\frac{a} {3}\sqrt{6}\approx 0,8165~a

Długość przekątnej p ośmiościanu foremnego:

Równanie [21] [21]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

d=a\sqrt{2}\approx 1,4142~a

Kąt pomiędzy ścianami:

Równanie [22] [22]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\alpha =2~\operatorname{arcsin}\sqrt{\frac{2}{3}}\approx 109^{\circ}

gdzie Φ oznacza liczbę złotą, której wartość wynosi około: 1,6180339887...

Siatka ośmiościanu foremnego

Siatka ośmiościanu foremnego - wersja 1Siatka ośmiościanu foremnego - wersja 2
Rys. 7
Dwie wersje siatki ośmiościanu foremnego

Dwunastościan foremny dodekaedr

Dodekaedr - Leonardo da VinciDodekaedr - Leonardo da Vinci
Rys. 8
Mała reprodukcja mojego autorstwa pracy Leonarda da Vinci pokazującej dodekaedr

Podstawowe cechy

Bryła składa się z 12-stu przystających ścian w kształcie pięciokąta foremnego, 30-stu krawędzi, 20-stu wierzchołków.

Podstawowe wzory:

Wzór na objętość:

Równanie [23] [23]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{5\cdot \Phi^2}{6-2\cdot\Phi}\cdot a=\frac{1} {4}~a^3~(15+7\sqrt{5})\approx 7,6613~a^3\delta=\frac{a\cdot \left(3+\sqrt{3}\right)}{4}

Wzór na pole powierzchni bocznej:

Równanie [24] [24]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S=\frac{15\cdot\Phi}{\sqrt{3-\Phi}}=3\cdot a^2~\sqrt{5\cdot (5+2\sqrt{5})}\approx 20,6457~a^2

Wzór na promień r kuli wpisanej w dwunastościan foremny:

Równanie [25] [25]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

r=\frac{a} {20}\sqrt{10(25+11\sqrt{5})}\approx 1,1135~a

Wzór na promień R kuli opisanej na dwunastościanie foremnym:

Równanie [26] [26]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

R=\frac{a} {4}~\sqrt{3}~(1+\sqrt{5})\approx 1,4013~a

Wzór na promień δ kuli stycznej do krawędzi dwunastościanu foremnego:

Równanie [27] [27]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\delta=\frac{a\cdot \left(3+\sqrt{3}\right)}{4}

Dwunastościan foremny można wpisać w dwudziestościan foremny w sposób pokazany na rysunku 10

Dwunastościan foremnyDwunastościan foremny wpisany w dwudziestościan foremny
Rys. 9
Po lewej: dwudziestościan foremny; po prawej: dwunastościan foremny wpisany w dwudziestościan

Siatka dwunastościanu foremnego

Siatka dwunastościanu foremnego
Rys. 10
Siatka dwunastościanu foremnego

Stosunek długości krawędzi dwudziestościanu foremnego do dwunastościanu wynosi:

Równanie [28] [28]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{\Phi}{\sqrt{5}}

Kąt pomiędzy ścianami dwunastościanu foremnego wynosi:

Równanie [29] [29]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\alpha=116,6^{\circ}

Dwudziestościan foremny ikosaedr

Podstawowe cechy

Bryła składa się z 20-stu przystających boków w kształcie trójkąta foremnego, 30 krawędzi, 12 wierzchołków i 15 płaszczyzn symetrii.

Podstawowe wzory:

Objętość bryły:

Równanie [30] [30]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{5\cdot\Phi^2}{6}=\frac{5} {12}\cdot a^3~(3+\sqrt{5})\approx 2,1817\cdot a^3

Powierzchnia boczna:

Równanie [31] [31]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S=5\cdot a^2\sqrt{3}\approx 8,6603\cdot a^2

Promień r kuli wpisanej w dwudziestościan foremny:

Równanie [32] [32]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

r=\frac{a} {12}\cdot\sqrt{3}\cdot\left(3+\sqrt{5}\right)\approx 0,7558\cdot a

Promień R kuli opisanej na dwudziestościanie foremnym:

Równanie [33] [33]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

R=\frac{a}{4}\cdot\sqrt{10+2\cdot\sqrt{5}}\approx 0,9511\cdot a

Promień δ styczny do krawędzi dwudziestościanu foremnego:

Równanie [34] [34]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\delta=\frac{a\cdot\left(1+\sqrt{5}\right)}{4}

Wysokość h pomiędzy równoległymi płaszczyznami dwudziestościanu foremnego:

Równanie [35] [35]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

h=2\cdot r=\frac{a}{6}\cdot\sqrt{3}\cdot\left(3+\sqrt{5}\right)\approx 1,5115\cdot a

Ciekawostką niech będzie fakt, że dwudziestościan foremny da się opisać na trzech wzajemnie się przecinających pod kątem 90° prostokątach złotych tak jak widoczne jest to na poniższym rysunku.

Dwudziestościan foremny opisany na trzech wzajemnie się przecinających pod kątem pod kątem 90° prostokątach złotych
Rys. 11
Dwudziestościan foremny opisany na trzech wzajemnie się przecinających pod kątem pod kątem 90° prostokątach złotych

Siatka dwudziestościanu foremnego

Siatka dwudziestościanu foremnego
Rys. 12
Siatka dwudziestościanu foremnego