Prostopadłościany
Stronę tą wyświetlono już: 5230 razy
Prostopadłościany to ogólnie mówiąc sześciany, których boki składają się z prostokątów. Szczególnym przypadkiem prostopadłościanu jest sześcian foremny lub sześcian Platoński. Kąt zawarty pomiędzy sąsiadującą parą ścian prostopadłościanu są sobie równe i wynoszą 90°. Każdy prostopadłościan ma:
- 4 przekątne;
- 6 ścian;
- 8 wierzchołków;
- 8 krawędzi;
Podstawowe wzory:

- a, b, c - długości krawędzi prostopadłościanu;
- p - jedna z przekątnych prostopadłościanu;
- pp - przekątna podstawy prostopadłościanu
Objętość prostopadłościanu:
Pole powierzchni prostopadłościanu:
Długość przekątnej prostopadłościanu:
Promień kuli opisanej na prostopadłościanie:
Przykładowa siatka prostopadłościanu

Zadania
Zadanie 1
Oblicz objętość prostopadłościanu, którego przekątna p = 3 [cm] zaś stosunek długości boku b do a jest równy oraz stosunek boku c do a wynosi
.
Do rozwiązania tego zadania konieczne będzie skorzystanie z wzoru [3], ale zanim to nastąpi najpierw trzeba uzależnić długości boków prostopadłościanu tak, aby w równaniu [3] pozostała tylko jedna niewiadoma. Oto przekształcenia:
Do równania [3] podstawić należy w następujący sposób:
Znając a można obliczyć objętość prostopadłościanu:
![]() | [8] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
V=a\cdot a\cdot\sqrt{2}\cdot a\cdot\sqrt{6}= \sqrt{12} = 2\cdot\sqrt{3}\,[cm^3]
Zadanie 2
Oblicz objętość prostopadłościanu, którego przekątna jednej powierzchni bocznej p1 = 10[cm] zaś drugiej powierzchni bocznej p2 = 17[cm] natomiast wysokość h tego sześcianu będąca równocześnie krawędzią obu tych boków ma długość 8[cm].
Korzystając z starego dobrego twierdzenia Pitagorasa można obliczyć długość boku a i b, co też i z najdzikszą rozkoszą czynię:
![]() | [9] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
a^2=d_1^2-h^2\Rightarrow a=\sqrt{d_1^2-h^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6
![]() | [10] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
b^2=d_2^2-h^2\Rightarrow b=\sqrt{d_2^2-h^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{225}=15
Skoro znane są długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu to pozostało już tylko obliczenie upragnionej objętości:
Zadanie 3
Dany jest prostopadłościan o bokach a, b i c i objętości V = 3000 [m3], który po skróceniu najkrótszego boku o 20% i wydłużeniu najdłuższego ma objętość V2 = 2880 [m3]. Oblicz o ile procent wydłużył się najdłuższy bok tego prostopadłościanu.
Dane jest więc:
oraz:
Po podstawieniu za a·b·c zależności [12] otrzymuje się następujące równanie z jedną niewiadomą:
![]() | [14] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
0.8\cdot x \cdot V=2880 [cm^3]\Rightarrow 0.8\cdot 3000\cdot x = 2880 [xm^3]\Rightarrow x=1.2 [-]
Z powyższego wynika, że długość najdłuższego boku prostopadłościanu została zwiększona o 20%.