Spirala Archimedesa
Stronę tą wyświetlono już: 15063 razy
Opis matematyczny
Spirala Archimedesa jest krzywą, którą można zapisać w współrzędnych biegunowych w następującej postaci:
![]() | [1] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
R(\varphi)=\frac{\left(k\cdot\varphi+\Delta k\right)}{2\cdot\pi}\cdot\left(\varphi+\Delta\varphi\right)
gdzie:
- φ - zmienna kąta wyrażonego w radianach;
- R(φ) - funkcja zależności promienia od kąta φ;
- k - parametr określający przyrost odległości pomiędzy poszczególnymi zwojami spirali Archimedesa;
- Δk - parametr przesuwający promień wodzący funkcji o zadaną wartość;
- Δφ - parametr przesuwający kąt początkowy spirali Archimedesa
Równania parametryczne spirali Archimedesa:
![]() | [2] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\begin{cases} x=\cfrac{k\cdot\varphi+\Delta k}{2\cdot\pi}\cdot\sin\left(\varphi+\Delta\varphi\right)+\Delta x \\ y= \cfrac{k\cdot\varphi+\Delta k}{2\cdot\pi}\cdot\cos\left(\varphi+\Delta\varphi\right)+\Delta y\end{cases}
gdzie:
- Δx - przemieszczenie w osi x;
- Δy - przemieszczenie w osi y.
- a) ze zmiennym parametrem Δk;
- b) z zmiennym parametrem k;
- c) z zmiennym parametrem Δφ;
- d) z zmiennymi parametrami Δx i Δy.
Klatki do powyższych animacji zostały wykonane w programie wxMaxima, natomiast poskładane zostały w programie Gimp
Wzory
Istnieje możliwość obliczenia pola powierzchni pod wykresem spirali Archimedesa dla zakresu kątów od φ1 do φ2, gdzie φ2-φ1≤2π oraz φ1≤φ2.
![]() | [3] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
P_p=\frac{R^2}{24\cdot\pi^2}\cdot\left(\varphi_2\,^3-\varphi_1\,^3\right)
gdzie:
- R - odległość pomiędzy sąsiadującymi zwojami spirali Archimedesa;
- φ1 - kąt początkowy spirali Archimedesa;
- φ2 - kąt końcowy spirali Archimedesa
Zastosowanie spirali Archimedesa
W technice spirala Archimedesa ma zastosowanie w obrabiarkach nazywanych tokarkami. Ściślej rzecz ujmując w uchwycie tokarskim znajduje się spirala Archimedesa, która odpowiedzialna jest za równomierne przesuwanie szczęk tego uchwytu jak widać na załączonym ponirzej rysunku.
Ilustracja wykonana w programie Inkscap-e
Spirala Archimedesa ma pewne mafijne powiązanie z problemem kwadratury koła, który oczywiście jest nierozwiązywalny przy użyciu cyrkla i linijki. Czym jest kwadratura koła? Z najdzikszą rozkoszą odpowiem, że jest to problem wyznaczenia długości boku kwadratu, takiego, że jego pole powierzchni odpowiada polu powierzchni koła o promieniu R. Jeżeli chodzi o spiralę Archimedesa, to linia styczna do jej krzywej w punkcie A z poniższego rysunku wyznacza trójkąt OAB, którego długość boku OA jest równa promieniowi R, a długość boku OB jest równa 2·π·R. Co ciekawe pole powierzchni tego trójkąta jest równe polu powierzchni okręgu o promieniu R, jednakże nas interesuje wyznaczenie długości boku kwadratu, a do tego celu potrzebna jest połowa długości OB powiększona o długość OA. Tak otrzymany odcinek należy podzielić na pół aby w końcu otrzymać długość boku kwadratu, którego pole powierzchni jest równe polu powierzchni koła o promieniu R.
Ilustracja wygenerowana w programie wxMaxima za pomocą następującego kodu:
- plot2d([[parametric, phi / (2*%pi)*cos(phi),phi / (2*%pi)*sin(phi),[phi,0,2*%pi],[nticks,160]],[discrete,[0,1,0,0],[0,0,-2*%pi,0]]],[x,-1,1],[y,-7,1],[gnuplot_term, "svg size 205, 600"], [gnuplot_out_file, "C:\\spirala_i_kwadratura_kola.svg"],[legend,false]);
Zmodyfikowana w programie Inkscap-e
Grafika żółwia - kreślenie spirali Archimedesa
W Pythonie jest moduł o nazwie turtle, który umożliwia pisanie programów rysujących różne figury geometryczne. Oto prosty przykład programu rysującego spiralę Archimedesa:
- import turtle as tr
- import math as mt
- tr.pensize(10)
- def drawSpiral(angle, a):
- for i in range(angle):
- tr.pencolor((i / angle, 1 - i / angle, 0))
- tr.goto(a * i * mt.sin(mt.radians(i)), a * i * mt.cos(mt.radians(i)))
- drawSpiral(360 * 10, 0.1)
Więcej na temat pisania programów w Pythonie oraz na temat grafiki żółwia można poczytać na stronie Programowanie → Podstawy Pythona → Grafika żółwia.