Torusy

1. Helion
1. Zdarzyło się dzisiaj
  
  Polska
  1414 – Został wydany przez kapitułę włocławską (właściciela Łodzi) przywilej lokacyjny, uznający mieszkańców wsi za mieszczan. Jednocześnie zwrócono się do króla z prośbą o przywilej monarszy i uznanie Łodzi za miasto pod względem prawno-ustrojowym.
  Świat
  1464 – Wojna Dwóch Róż: zwycięstwo Yorków w bitwie pod Hexham.
  Źródło: Wikipedia
1. Piosenka dnia
  
  Miley Cyrus - "Jolene"
  Jolene, Jolene, Jolene, Jolene, Oh, I'm begging of you please, don't take my man, Jolene, Jolene, Jolene, Jolene, Please, don't take him even though you can Your beauty is beyond compare, With flaming locks of auburn hair, With ivory skin and eyes of emerald green Your smile is like a breath of spring, Your skin is soft like summer rain, And I cannot compete with you, Jolene And I could easily understand, How you could easily take my man, But you don't know what he means to me, Jolene And he talks about you in his sleep, There's nothing I can do to keep, From crying when he calls your name, Jolene, Jolene Jolene, Jolene, Jolene, Jolene, Please, don't take him even though you can, Jolene, Jolene, Jolene, Jolene, Please, don't take him even though you can I had to have this talk with you, My happiness depends on you, And whatever you decide to do, Jolene And you could have your choice of men, But I can never love again, 'Cause he's the only one for me, Jolene, Jolene Jolene, Jolene, Jolene, Jolene, Oh, I'm begging of you please, don't take my man, Jolene, Jolene, Jolene, Jolene, Please, don't take him even though you can, Jolene, Jolene

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 8509 razy

Definicja torusa

Torus jest to bryła obrotowa powstała w wyniku obrotu płaszczyzny koła względem osi leżącej na płaszczyźnie tego koła lecz nie mającej punktów wspólnych z nim.

Ilustracja torusa — Rys. 1
Ilustracja torusa wraz z oznaczeniami:
R - promień obrotu płaszczyzny okręgu tworzącej torus;

r - promień okręgu, będącego przekrojem osiowym torusa;

Równanie torusa

Płaszczyznę torusa opisuje następująca równość:

Równanie opisujące płaszczyznę torusa

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left(\sqrt{x^2 + y^2} - R\right)^2 + z^2 = r^2

Parametryczne równanie torusa dla kątów α - kąta położenia punktu na obwodzie koła przekroju torusa i β kąta obrotu płaszczyzny tworzącej torusa.

Parametryczne równania torusa

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases}x=(R+r\cdot\cos \alpha)\cdot\cos \beta \\ y=(R+r\cdot\cos \alpha)\cdot\sin \beta \\ z=r\cdot \sin \alpha\end{cases}

Poniżej zamieszczony został wykres torusa utworzony w programie wxMaxima z wykorzystaniem powyższego wzoru.

Wykres torusa uzyskany w programie wxMaxima — Rys. 2
Wykres torusa uzyskany w programie wxMaxima za pomocą następującego kodu:
plot3d([(R+r*cos(x))*cos(y), (R+r*cos(x))*sin(y), r*sin(x)], [x, 0, 2*%pi], [y, 0, 2*%pi], [grid, 40,40],[azimuth, 30],[elevation, 10],[palette,[value,float(35 / 255),float(213/255),float(255/255),0.9]], [gnuplot_term, "svg size 500, 250"], [gnuplot_out_file, "C:\\Torus_wxMaxima.svg"]);

Plik został wyeksportowany do formatu png i edytowany w programie Inkscape

Podstawowe wzory

Objętość torusa

Objętość torusa jest równa iloczynowi obwodu okręgu o promieniu R i pola powierzchni koła o promieniu r:

Wzór na objętość torusa

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=2\cdot \pi\cdot R\cdot r^2

Pole powierzchni torusa

Pole powierzchni torusa odpowiada polu powierzchni bocznej walca o podstawie okręgu o promieniu r i wysokości h tegoż walca równej 2·π·R.

Wzór na pole powierzchni torusa

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S=4\cdot\pi^2\cdot R\cdot r