Hipocykloidy

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 5577 razy

Definicja i rodzaje hipocykloid

Hipocykloida to krzywa, jaką kreśli punkt umieszczony na obwodzie okręgu toczącego się po wewnętrznej stronie drugiego okręgu.

Hipocykloidę opisują trzy podstawowe parametry, którymi są:

promień okręgu, po którym odbywa się toczenie R_w;
promień okręgu toczącego się R_o;
promień rysowania R_r

Gdy stosunek promienia R_o do promienia R_w jest ułamkiem zwykłym oraz jego odwrotność jest liczbą całkowitą, wtedy taka hipocykloida ma charakter cykliczny, którego okres wynosi 2·π radiana. Na poniższej rysunko-animacji pokazane zostały cztery takie hipocykloidy.

Hipocykloida o stosunku Ro do Rw równym 1/2 — Rys. 1
Hipocykloidy:
a) o stosunku **R_o** do **R_w** równym **1/2**;

b) o stosunku **R_o** do **R_w** równym **1 / 3** ;

c) o stosunku **R_o** do **R_w** równym **1 / 4** ;

d) o stosunku **R_o** do **R_w** równym **1 / 5** .

Klatki do powyższych animacji zostały wykonane w programie **wxMaxima**, natomiast poskładane zostały w programie **Gimp**

Hipocykloida o stosunku Ro do Rw równym 1/3 — Rys. 1
Hipocykloidy:
a) o stosunku **R_o** do **R_w** równym **1/2**;

b) o stosunku **R_o** do **R_w** równym **1 / 3** ;

c) o stosunku **R_o** do **R_w** równym **1 / 4** ;

d) o stosunku **R_o** do **R_w** równym **1 / 5** .

Klatki do powyższych animacji zostały wykonane w programie **wxMaxima**, natomiast poskładane zostały w programie **Gimp**

Hipocykloidy, których stosunek promienia R_o do R_w jest ułamkiem zwykłym ale jego odwrotność nie jest liczbą całkowitą mają okres większy niż jeden pełny obrót. Przykład takiej hipocykloidy można zobaczyć na poniższym rysunku.

Hipocykloida o stosunku Ro do Rw równym 3/20 — Rys. 2
Hipocykloida, której okres pojedynczego cyklu wynosi **6·π radianów** (trzy pełne obroty wokół nieruchomego okręgu).
Klatki do powyższych animacji zostały wykonane w programie **wxMaxima** za pomocą następującego kodu:

for i : 0 step 20 thru 3*360 do( Ro:3, Rw:20, f:%pi * i / 180, plot2d([[parametric, cos(t)*Rw,sin(t)*Rw,[t,0,2*%pi],[nticks,80]],[parametric, cos(f)*(Rw-Ro)+cos(t)*Ro, sin(f) * (Rw-Ro)+sin(t)*Ro,[t,0,2*%pi],[nticks,80]],[parametric, cos(f)*(Rw-Ro)+cos(-f*(Rw-Ro)/Ro)*Ro+cos(t)*.1, sin(f) * (Rw-Ro)+sin(-f*(Rw-Ro)/Ro)*Ro+sin(t)*.1,[t,0,2*%pi],[nticks,80]],[parametric, cos(fi)*(Rw-Ro)+cos(-fi*(Ro-Rw)/Ro)*Ro,sin(fi) * (Rw-Ro)+sin(-fi*(Rw-Ro)/Ro)*Ro,[fi,0,f],[nticks,80]]],[x,-Rw,Rw],[y,-Rw,Rw],[gnuplot_term, "png size 260, 250"], [gnuplot_out_file, printf(false,"C:\\h ~d.png",i)],[legend,false]) )$

W powyżej rozpatrywanych przypadkach promień rysowania R_r jest równy promieniowi okręgu R_o, istnieje jednak możliwość, aby promienie te się od siebie różniły, takie przypadki pokazują poniższe animacje.

Hipocykloida o stosunku Ro do Rw równym 1/2 o promieniach rysowania 1,5·Ro i 0,5·Ro — Rys. 3
Hipocykloidy:
a) o stosunku **R_o** do **R_w** równym **1/2** o promieniach rysowania **1,5·R_o** i **0,5·R_o**;

b) o stosunku **R_o** do **R_w** równym **1 / 3** o promieniach rysowania **1,5·R_o** i **0,5·R_o**;

c) o stosunku **R_o** do **R_w** równym **1 / 4** o promieniach rysowania **1,5·R_o** i **0,5·R_o**;

d) o stosunku **R_o** do **R_w** równym **1 / 5** o promieniach rysowania **1,5·R_o** i **0,5·R_o**.

Klatki do powyższych animacji zostały wykonane w programie **wxMaxima**, natomiast poskładane zostały w programie **Gimp**

Hipocykloida o stosunku Ro do Rw równym 1/3 o promieniach rysowania 1,5·Ro i 0,5·Ro — Rys. 3
Hipocykloidy:
a) o stosunku **R_o** do **R_w** równym **1/2** o promieniach rysowania **1,5·R_o** i **0,5·R_o**;

b) o stosunku **R_o** do **R_w** równym **1 / 3** o promieniach rysowania **1,5·R_o** i **0,5·R_o**;

c) o stosunku **R_o** do **R_w** równym **1 / 4** o promieniach rysowania **1,5·R_o** i **0,5·R_o**;

d) o stosunku **R_o** do **R_w** równym **1 / 5** o promieniach rysowania **1,5·R_o** i **0,5·R_o**.

Klatki do powyższych animacji zostały wykonane w programie **wxMaxima**, natomiast poskładane zostały w programie **Gimp**

Gdy stosunek promienia R_o do promienia R_w nie da się wyrazić za pomocą ułamka zwykłego, wtedy krzywa nie zamyka się cyklicznie a jedynie może zbliżać się i oddalać od swoich krawędzi tworząc bliskie zamknięciu się przejście. Przypadek ten obrazuje poniższa animacja.

Hipocykloida o promieniu Rw równym π oraz Ro równym 1 — Rys. 4
Hipocykloida, która nie posiada okresu zamykającego jej krzywą (promień **R_w** wynosi π a **R_o** wynosi 1).
Klatki do powyższych animacji zostały wykonane w programie **wxMaxima** za pomocą następującego kodu:

for i : 0 step 20 thru 8*360 do( Ro:1, Rw:%pi, f:%pi * i / 180, g:i*5, plot2d([[parametric, cos(t)*Rw,sin(t)*Rw,[t,0,2*%pi],[nticks,80]],[parametric, cos(f)*(Rw-Ro)+cos(t)*Ro, sin(f) * (Rw-Ro)+sin(t)*Ro,[t,0,2*%pi],[nticks,80]],[parametric, cos(f)*(Rw-Ro)+cos(-f*(Rw-Ro)/Ro)*Ro+cos(t)*.1, sin(f) * (Rw-Ro)+sin(-f*(Rw-Ro)/Ro)*Ro+sin(t)*.1,[t,0,2*%pi],[nticks,80]],[parametric, cos(fi)*(Rw-Ro)+cos(-fi*(Ro-Rw)/Ro)*Ro,sin(fi) * (Rw-Ro)+sin(-fi*(Rw-Ro)/Ro)*Ro,[fi,0,f],[nticks,g]]],[x,-Rw,Rw],[y,-Rw,Rw],[gnuplot_term, "png size 260, 250"], [gnuplot_out_file, printf(false,"C:\\h ~d.png",i)],[legend,false]) )$

**Uwaga!** Czas wykonywania klatek animacji za pomocą powyższego kodu jest dość długi.

Parametryczny opis hipocykloidy

Dla hipocykloidy podstawowej, czyli takiej, dla której promienie R_o i R_r są sobie równe opis parametryczny przyjmuje następującą postać:

[1]

W przypadku, gdy R_o≠R_r wtedy równania parametryczne przyjmują postać następującą:

[2]

Zastosowanie i miejsca występowania epicykloid

W przekładniach planetarnych punkty na obwodzie kół pośredniczących w przenoszeniu momentu obrotowego z obwiedniowego koła zębatego na koło centralne poruszają się po hipocykloidach w układzie związanym z obwiedniową zębatką. Takie koła stosowane są w niektórych rowerach miejskich, gdzie w piaście wbudowany jest system przekładni planetarnych, jednakże tam to koło centralne pozostaje w bezruchu a obwiedniowe kręci się wraz z satelitarnymi kołami pośredniczącymi.

Rys. 5
Przekładnia planetarna, w której punkty na obwodzie kółek planetarnych krążą wokół obwiedniowego koła zębatego po trajektorii hipocykloidalnej.
Źródło:
Wikimedia Commons

Hipocykloida z rysunku 1 a) z powodzeniem może zostać wykorzystana w niecnym planie zamiany ruchu posuwisto zwrotnego na obrotowy i na odwrót. Innymi słowy z tego można by zrobić albo silnik spalinowy, albo pompę np. wodną.

Rodzina hipocykloid, których dwaj przedstawiciele pokazani zostali na rysunku 3 a) umożliwiają kreślenie elips.