Ostrosłupy

Stronę tą wyświetlono już: 285 razy

Definicja ostrosłupa

Ostrosłupem jest każda bryła, której ściany boczne są trójkątami a jej podstawa wielokątem dowolnym. Wśród ostrosłupów wyróżnia się następujące grupy:

  • ostrosłupy prawidłowe, których podstawa jest wielokątem foremnym a punkt przecięcia prostej prostopadłej do płaszczyzny podstawy przechodzącej przez wierzchołek tego ostrosłupa znajduje się w środku ciężkości podstawy, lub ściślej rzecz ujmując w środku okręgu opisanego na podstawie. Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego są przystającymi trójkątami równoramiennymi;
  • ostrosłup pochyły - to taki, w którym prosta prostopadła do płaszczyzny podstawy przechodząca przez wierzchołek ostrosłupa nie przecina podstawy w środku jej ciężkości;
a)Ostrosłup sześciokątny prawidłowyb)Ostrosłup foremny pochyłyc)Ostrosłup pięciokątny pochyły
Rys. 1
Ostrosłupu: a) sześciokątny prawidłowy; b) foremny sześciokątny pochyły; c) pięciokątny pochyły

Oznaczenia

  • h - wysokość ostrosłupa;
  • R - promień okręgu opisanego na wielokącie foremnym.

ostrosłupy mające w podstawie n-kąt foremny nazywa się ostrosłupem n-kątnym.

Podstawowe wzory:

Wzory ogólne:

Objętość ostrosłupa dowolnego można obliczyć z następującego wzoru:

Wzór na objętość ostrosłupa dowolnego [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{1}{3}\cdot h\cdot S_p

gdzie:

  • h - wysokość ostrosłupa;
  • Sp - pole powierzchni podstawy.

Ostrosłypy o podstawie trójkąta (czworościany)

Wzory dla czworościanów, które jednocześnie są ostrosłupami można znaleźć na stronie Geometra→Czworościany.

Ostrosłupy o podstawie równoległościanu:

Ostrosłup o podstawie równoległoboku zbudowany za pomocą trzech wektorów: a, b i c
Rys. 2
Ostrosłup o podstawie równoległoboku zbudowany za pomocą trzech wektorów: a, b i c

Jeżeli dane są trzy wektory a, b i c to objętość ostrosłupa o podstawie równoległoboku można obliczyć z wzoru następującej postaci:

Wzór na objętość ostrosłupa o podstawie równoległoboku, dla którego dane są wektory wychodzące z jednego z wierzchołków podstawy [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\left|\frac{1}{3}\cdot\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\circ\vec{c}\right|

Definicja ostrosłupa ściętego:

Ostrosłupem ściętym jest to ostrosłup, który został ścięty płaszczyzną równoległą do podstawy na wysokości h. Płaszczyzna powstała w ten sposób jest wielokątem podobnym do wielokąta podstawy, co z kolei oznacza, że stosunek odpowiednich dwóch boków podstawy górnej do odpowiadających im dwóch boków podstawy dolnej są sobie równe.

Ilustracja ostrosłupa ściętego
Rys. 3
Ostrosłup ścięty o podstawie prostokątnej i jego oznaczenia:

Oznaczenia:

  • a, b - długości boków podstawy dolnej";
  • a', b' - długości boków podstawy górnej;
  • h - wysokość ostrosłupa ściętego

Na powyższej ilustracji zaznaczone długości boków podstaw muszą spełniać następującą równość, aby taka bryła mogła mieć zaszczyt nazywania się ostrosłupem ściętym:

Równość stosunków dwóch par boków podstaw ostrosłupa ściętego [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'}

W każdym ostrosłupie ściętym boki są trapezami.

Obliczanie objętości dowolnego ostrosłupa ściętego

Wzór na objętość ostrosłupa dowolnego [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{1}{3}\cdot h\cdot\left(S_{p1}+S_{p2}+\sqrt{S_{p1}\cdot S_{p2}}\right)

gdzie:

  • h - wysokość ostrosłupa ściętego;
  • Sp1, Sp2 - pola powierzchni podstaw.

Komentarze