Ewolwenta okręgu

Stronę tą wyświetlono już: 1517 razy

Definicja

Ewolwentą okręgu nazywa się taką krzywą, którą kreśli koniec nieskończenie cienkiego sznurka odwijanego z koła o danym promieniu R.

Przy założeniu, że dla kąta φ=0° długość odwiniętego sznurka jest równa zero proces powstawania takiej krzywej będzie wyglądał tak, jak na poniższej animacji.

Ewolwenta okręgu
Rys. 1
Ewolwenta okręgu.

Klatki powyższej animacji zostały stworzone przy pomocy programu wxMaxima za pomocą następującego kodu:

Listing 1
  1. for i : 0 step 10 thru 360 do(
  2. R:1,
  3. f:%pi * i / 180,
  4. plot2d([[parametric, cos(t)*R,sin(t)*R,[t,0,2*%pi],[nticks,80]],[discrete, [[R*f*sin(f)+R*cos(f), -R*f*cos(f)+R*sin(f)], [R*cos(f), R*sin(f)]]],[parametric, R*t*sin(t)+R*cos(t), -R*t*cos(t)+R*sin(t),[t,0,f],[nticks,80]]],[gnuplot_term, "png size 260, 250"],[x,-7,7],[y,-7,7], [gnuplot_out_file, printf(false,"C:\\ewolw ~d.png",i)],[legend,false])
  5. )$

Animacja poskładana została w programie Gimp

Parametryczne równanie ewolwenty okręgu

Krzywą ewolwentową dla okręgu o promieniu R opisują następujące równania parametryczne:

Równanie [1] [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases} x= R\cdot\left( \varphi\cdot \sin\varphi+\cos\varphi\right)\\ y=R\cdot\left(\sin\varphi-\varphi\cdot \cos\varphi\right) \right)\end{cases}

Zastosowanie

Ewolwenta okręgu szczególne zastosowanie ma w technice, gdzie w najdokładniejszych przekładniach zębatych dąży się do tego, aby zarys pojedynczego zęba koła zębatego miał kształt zbliżony do ewolwenty, albowiem w ten sposób zapewnia się w miarę płynne zazębianie i przenoszenie momentu obrotowego z jednego koła zębatego przekładni na drugie.

Zasada zazębiania się zębów przekładni zębatej
Rys. 2
Animacja zasady zazębiania się zębów przekładni zębatej.
Źródło:

Komentarze