Iloczyn skalarny

Stronę tą wyświetlono już: 520 razy

Definicja iloczynu skalarnego

Iloczynem skalarnym dwóch wektorów jest liczba obliczana w następujący sposób:

s=vec{a}circvec{b}=begin{bmatrix} a_1\ a_2\ vdots \ a_n end{bmatrix}circbegin{bmatrix} b_1\ b_2\ vdots \ b_n end{bmatrix}=sum_{i=1}^{n}a_icdot b_i [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

s=vec{a}circvec{b}=\begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}\circ\begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}=\sum_{i=1}^{n}a_i\cdot b_i

gdzie:

  • a1, a2, ... , an - składowe wektora a;
  • b1, b2, ... , bn - składowe wektora b;
  • s - wartość liczbowa otrzymana z iloczynu skalarnego wektorów a, b.

Interpretacja graficzna i powiązanie iloczynu skalarnego z długościami wektorów i wartością kąta zawartego między nimi

Iloczyn skalarny jest ściśle powiązany z długościami wektorów a, b oraz kątem α zawartym między nimi w następujący sposób:

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

s=\vec{a}\circ\vec{b}=\left|\vec{a}\right|\cdot \left|\vec{b}\right|\cdot \cos\,\alpha

gdzie:

  • |a|, |b| - długości wektorów a, b;
  • α - kąt zawarty między wektorami a, b.
Ilustracja pomocnicza do wyznaczenia iloczynu skalarnego dwóch wektorów
Rys. 1
Interpretacja graficzna iloczynu skalarnego dwóch wektorów 2W.

Z wzoru [2] wynika, że gdy kąt α zawarty między wektorami jest równy 90°, iloczyn skalarny wektorów równa się zero. Daje to podstawę do stwierdzenia, czy dwa wektory są prostopadłe względem siebie.

Przyrównując zależności [1], [2] stronami i odpowiednio je przekształcając można otrzymać wzór na cosinus mniejszego kąta α zawartego między danymi wektorami w następujący sposób:

Równanie [3] [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\cos\,\alpha=\frac{\vec{a}\circ \vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\cdot \left|\vec{b}\right|}

Wartość kąta α można więc wyznaczyć w następujący sposób:

Równanie [4] [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\alpha=acos\left(\frac{a\circ b}{\left|\vec{a}\right|\cdot \left|\vec{b}\right|}\right)

Przekształcając wzór [3] można obliczyć długość rzutu wektora a na wektor b (i na odwrót) w następujący sposób:

Równanie [5] [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left|\vec{a}\right|\cdot cos\,\alpha=\frac{\vec{a}\circ \vec{b}}{\left|\vec{b}\right|}

Znając długość Lab rzutu wektora a na wektor b daną zależnością [5] można obliczyć wektor aab będący rzutem wektora a na wektor b poprzez podzielenie wektora b przez jego długość i pomnożenie go przez znaną długość rzutu Lab:

W mianowniku równania [6] znajduje się zapis kwadratu długości wektora b, który następnie zastąpiony został iloczynem skalarnym wektora b przez wektor b. Stało się tak, ponieważ zachodzi równość pomiędzy tymi wielkościami, którą można zapisać najogólniej w następujący sposób:

Równanie [7] [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left|\vec{b}\right|\cdot \left|\vec{b}\right|=\vec{b}\circ \vec{b}\Rightarrow \left|\vec{b}\right|=\sqrt{\vec{b}\circ\vec{b}}

Całą operację rzutowania wektora a na wektor b można obejrzeć na rysunku 2, z którego wynika że wektor aab jest równoległy do wektora b oraz jest rzutem wektora a na wektor b.

ilustracja rzutowania wektora a na wektor b
Rys. 2
Interpretacja graficzna rzutowania wektora a na wektor b.

Własności operatora mnożenia skalarnego wektorów:

przemienność:

vec{a}circvec{b}=vec{b}circvec{a}

rozdzielność względem dodawania i odejmowania:

vec{a}circleft(vec{b}pmvec{c}right)=vec{a}circvec{b}pmvec{a}circvec{c}

przemienność względem mnożenia wektora przez wartość liczbową:

vec{a}circleft(kcdotvec{b}right)=kcdotleft(vec{a}circvec{b}
ight)

Komentarze