Geometria

Stronę tą wyświetlono już: 975 razy

Geometria to dział matematyki związany z opisywaniem i badaniem różnych obiektów n-wymiarowych oraz przekształceń i operacji możliwych do wykonania na tych obiektach.

W geometrii operujemy pojęciem przestrzeni, która może być n wymiarowa, gdzie n jest liczbą naturalną.

Chociaż przestrzeni jest nieskończenie wiele, to ja ograniczę się tutaj do tych, które w naturalny sposób są nam znane.

Przestrzenie 0W (0 wymiarowe)

W przestrzeni 0W może zmieścić się tylko jeden typ obiektu taki, który nie ma ani szerokości, ani długości ani też wysokości. Wiemy powszechnie, że takie obiekty są czystą abstrakcją i nazywa się je punktami.

Przestrzenie 1W

W przestrzeni 1W można już zmieścić nieco więcej, a mianowicie można zmieścić tam wszystkie typy obiektów, które mają długość, ale nie mają szerokości ani wysokości. W tego typu przestrzeniach mieści się również każdy obiekt o wymiarach mniejszych niż n, a ponieważ jest w tym przypadku jeden taki wymiar, więc wszystkie punkty mieszczą się w wymiarze 1W. W Euklidesowych układach odniesienia (a do takich tutaj będę się odnosił) obiekty 1W to:

1) prosta - linia, która nie ma ani początku, ani końca (ciągnie się w dwóch kierunkach w nieskończoność);

2) półprosta - linia, która ma punkt początkowy, ale brak jej końca;

3) odcinek - ma punkty końcowe.

przykłady obiektów 1W
Rys. 1
Przykłady obiektów 1W

Jedno jest pewne: niezależnie jaki by to nie był obiekt 1W, zawsze w jego skład będzie wchodzić nieskończenie wiele obiektów 0W. Innymi słowy każda prosta, półprosta czy odcinek składają się z nieskończenie wielu punktów.

Ponieważ obiekty 0W są jednostkami podstawowymi, jako takie nie mają składowych.

Przestrzenie 2W

W przestrzeniach 2W można pomieścić obiekty, które mają długość i szerokość, ale nie mają wysokości. W tym wymiarze można również pomieścić wszystkie obiekty o wymiarach <n. Do obiektów 2W należą: płaszczyzna płaska (w układach Euklidesowych), figury płaskie, łuki oraz linie krzywe.

przykłady liniowych obiektów 2W
Rys. 2
Przykłady liniowych obiektów 2W: a) łamana (opisana zbiorem wektorów określających położenie kolejnych punktów); b) łuk (opisany np. za pomocą funkcji).
przykłady figur płaskich
Rys. 3
Przykłady figur płaskich.

Tak jak poprzednio, tak i teraz można powiedzieć z całą pewnością, że każdy obiekt 2W składa się z nieskończonej ilości punktów. Na każdej figurze płaskiej można odłożyć nieskończoną liczbę odcinków. Przez każdą linię krzywoliniową można przeprowadzić nieskończenie wiele prostych przecinających ją w co najmniej jednym punkcie.

Obiekty przestrzeni 2W mogą cechować się szerokością, długością i polem powierzchni.

Przestrzenie 3W

W przestrzeniach 3W pomieścimy cały nasz świat. Tutaj znajdą swoje miejsce obiekty cechujące się długością, szerokością jak i wysokością. Zmieszczą się tu również obiekty 2W, 1W oraz oczywiście te podstawowe i najmniejsze twory 0W. W przestrzeni 3W można pomieścić obiekty krzywoliniowe, które nie mogą się zmieścić na płaszczyźnie płaskiej, płaszczyzny krzywoliniowe, które również nie mogą się zmieścić na jednej płaszczyźnie płaskiej oraz oczywiście bryły przestrzenne.

przykłady trójwymiarowych obiektów liniowych
Rys. 4
Przykłady trójwymiarowych obiektów liniowych: a) łamana (zdefiniowana punktami); b) krzywa (która może być opisana funkcją).
przykłady trójwymiarowej powierzchni
Rys. 5
Przykłady trójwymiarowej powierzchni opisanej funkcją f(x,y)=sin(x)·cos(y).

Wykres wygenerowany do pliku svg w programie wxMaxima za pomocą następującego kodu:

Listing 1
  1. plot3d (sin(x)*sin(y),[x,0,10*%pi],[y,0,10*%pi],[grid, 100, 100],[azimuth, 60],[elevation,30], [gnuplot_term, "svg size 500,300"], [gnuplot_out_file, "C:\\powierzchnia_3W.svg"])

Plik edytowany w programie Inkscape.

przykłady brył
Rys. 6
Przykłady brył: a) sześcian; b) stożek o podstawie prostokąta; c) stożek o podstawie koła; d) kula.

Komentarze