Bryły Platońskie

Stronę tą wyświetlono już: 19598 razy

Bryły Platońskie należą do dość szczególnego rodzaju brył, które spełniają następujące warunki:

• da się na takiej bryle opisać sferę;
• da się w taką bryłę wpisać sferę;
• wszystkie boki bryły są przystającymi wielokątami foremnymi.

Spełnienie powyższych warunków wymusza również fakt, że każda bryła tego typu będzie należała do zbioru brył wypukłych. Na podstawie powyższych warunków można stwierdzić, że istnieje jedynie 5 brył Platońskich, a są nimi:

1. czworościan foremny tetraedr - składa się z czterech boków o kształcie trójkąta równobocznego;
2. sześcian foremny heksaedr - składa się z sześciu boków o kształcie kwadratu;
3. ośmiościan foremny oktaedr - składa się z ośmiu boków o kształcie trójkąta równobocznego;
4. dwunastościan foremny dodekaedr - składa się z dwunastu boków o kształcie pięciokąta foremnego;
5. dwudziestościan foremny ikosaedr - składa się z dwudziestu boków o kształcie trójkąta równobocznego.

a)b)c)d)e)

Czworokąt foremny tetraedr

Podstawowe cechy

Bryła ta ma 6 krawędzi i 4 wierzchołki a podstawowe jej parametry fizyczne można wyliczyć znając długość krawędzi boków a w następujący sposób:

pole powierzchni wszystkich boków czworościanu:

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S=\sqrt{3}~a^2\approx 1,7321~a^2

objętość bryły:

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{\sqrt{2}} {12}~ {a^3}\approx 0,1179~a^3

wysokość h:

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

h=a~\frac{\sqrt {24}}{6}=\frac{\sqrt 6}{3}~a\approx 0,8165~a

kąt α nachylenia krawędzi względem ściany, której krawędzią ona nie jest:

[4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\alpha=\arcsin\frac{\sqrt6}{3}\approx 54,7356^{\circ}"/> name="[4]

Promień R kuli opisanej na czworościanie foremnym:

[5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

R=\frac{\sqrt{6}} {4}~a\approx 0,6124~a

Promień r kuli wpisanej w czworościanu foremnego:

[6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

r=\frac{\sqrt{6}} {12}~a\approx 0,2041~a

Promień δ kuli stycznej do krawędzi czworościanu foremnego:

[7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\delta=\frac{1}{4}\cdot a\cdot\sqrt{2}

Kąt między ścianami czworokąta:

[8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\beta=\arcsin\frac{\sqrt{8}}{3}\approx 70,53^{\circ}

Siatka czworościanu foremnego

Stosowane są dwie wersje rozwinięcia siatki czworościanu, obie pokazane zostały na poniższym rysunku.

Sześcian foremny heksaedr

Podstawowe cechy

Bryła składa się z 6-ciu przystających ścian kwadratowych, 12-stu krawędzi, 8-miu wierzchołków i czterech przekątnych.

Podstawowe wzory:

Objętość sześcianu:

[9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=a^3

Pole powierzchni sześcianu:

[10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S=6\cdot a

Wzór na promień r kuli wpisanej w sześcian foremny:

[11]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

r=\frac{a}{2}

Wzór na promień R kuli opisanej na sześcianie foremnym:

[12]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

r=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\sqrt{3}

Wzór na promień δ kuli stycznej do krawędzi sześcianu foremnego:

[13]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\delta=a\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}

Wzór na długość przekątnej sześcianu:

[14]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

d=a\cdot\sqrt{3}

Siatka sześcianu foremnego

Ośmiościan foremny oktaedr

Podstawowe cechy

Bryła ta składa się z ośmiu ścian o kształcie trójkąta równobocznego, 12-stoma krawędzi, 6 wierzchołków oraz 3-ech przekątnych.

Podstawowe wzory:

Objętość ośmiościanu foremnego:

[15]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{\sqrt{2}} {3}~a^3\approx 0,4714~a^3

Pole powierzchni bocznej:

[16]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S=2\sqrt{3}~a^2\approx 3,4641~a^2

Promień r kuli wpisanej w ośmiokąt foremny:

[17]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

r=\frac{a} {6}\sqrt{6}\approx 0,4082~a

Promień R kuli opisanej na ośmiościanie foremnym:

[18]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

R=\frac{a} {2}\sqrt{2}\approx 0,7071~a

Promień δ kuli stycznej do krawędzi ośmiościanu foremnego:

[19]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\delta=\frac{a}{2}

Wysokość h określająca odległość pomiędzy równoległymi ścianami ośmioboku foremnego:

[20]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

h=\frac{a} {3}\sqrt{6}\approx 0,8165~a

Długość przekątnej p ośmiościanu foremnego:

[21]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

d=a\sqrt{2}\approx 1,4142~a

Kąt pomiędzy ścianami:

[22]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\alpha =2~\operatorname{arcsin}\sqrt{\frac{2}{3}}\approx 109^{\circ}

gdzie Φ oznacza liczbę złotą, której wartość wynosi około: 1,6180339887...

Siatka ośmiościanu foremnego

Dwunastościan foremny dodekaedr

Podstawowe cechy

Bryła składa się z 12-stu przystających ścian w kształcie pięciokąta foremnego, 30-stu krawędzi, 20-stu wierzchołków.

Podstawowe wzory:

Wzór na objętość:

[23]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{5\cdot \Phi^2}{6-2\cdot\Phi}\cdot a=\frac{1} {4}~a^3~(15+7\sqrt{5})\approx 7,6613~a^3\delta=\frac{a\cdot \left(3+\sqrt{3}\right)}{4}

Wzór na pole powierzchni bocznej:

[24]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S=\frac{15\cdot\Phi}{\sqrt{3-\Phi}}=3\cdot a^2~\sqrt{5\cdot (5+2\sqrt{5})}\approx 20,6457~a^2

Wzór na promień r kuli wpisanej w dwunastościan foremny:

[25]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

r=\frac{a} {20}\sqrt{10(25+11\sqrt{5})}\approx 1,1135~a

Wzór na promień R kuli opisanej na dwunastościanie foremnym:

[26]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

R=\frac{a} {4}~\sqrt{3}~(1+\sqrt{5})\approx 1,4013~a

Wzór na promień δ kuli stycznej do krawędzi dwunastościanu foremnego:

[27]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\delta=\frac{a\cdot \left(3+\sqrt{3}\right)}{4}

Dwunastościan foremny można wpisać w dwudziestościan foremny w sposób pokazany na rysunku 10

Siatka dwunastościanu foremnego

Stosunek długości krawędzi dwudziestościanu foremnego do dwunastościanu wynosi:

[28]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{\Phi}{\sqrt{5}}

Kąt pomiędzy ścianami dwunastościanu foremnego wynosi:

[29]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\alpha=116,6^{\circ}

Dwudziestościan foremny ikosaedr

Podstawowe cechy

Bryła składa się z 20-stu przystających boków w kształcie trójkąta foremnego, 30 krawędzi, 12 wierzchołków i 15 płaszczyzn symetrii.

Podstawowe wzory:

Objętość bryły:

[30]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{5\cdot\Phi^2}{6}=\frac{5} {12}\cdot a^3~(3+\sqrt{5})\approx 2,1817\cdot a^3

Powierzchnia boczna:

[31]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S=5\cdot a^2\sqrt{3}\approx 8,6603\cdot a^2

Promień r kuli wpisanej w dwudziestościan foremny:

[32]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

r=\frac{a} {12}\cdot\sqrt{3}\cdot\left(3+\sqrt{5}\right)\approx 0,7558\cdot a

Promień R kuli opisanej na dwudziestościanie foremnym:

[33]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

R=\frac{a}{4}\cdot\sqrt{10+2\cdot\sqrt{5}}\approx 0,9511\cdot a

Promień δ styczny do krawędzi dwudziestościanu foremnego:

[34]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\delta=\frac{a\cdot\left(1+\sqrt{5}\right)}{4}

Wysokość h pomiędzy równoległymi płaszczyznami dwudziestościanu foremnego:

[35]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

h=2\cdot r=\frac{a}{6}\cdot\sqrt{3}\cdot\left(3+\sqrt{5}\right)\approx 1,5115\cdot a

Ciekawostką niech będzie fakt, że dwudziestościan foremny da się opisać na trzech wzajemnie się przecinających pod kątem 90° prostokątach złotych tak jak widoczne jest to na poniższym rysunku.

Siatka dwudziestościanu foremnego