Iloczyn wektorowy

Stronę tą wyświetlono już: 679 razy

Obliczanie iloczynu wektorowego

Wynikiem iloczynu wektorowego jest wektor 3W prostopadły do mnożonych wektorów. Operacja ta może być przeprowadzona jedynie na wektorach trójwymiarowych w następujący sposób:

gdzie:

  • i, j, k - wersory osi x, y, z będące wektorami, których wartość jest równa 1 oraz jedna z składowych jest równa 1;
  • bx; by; bz - składowe wektora b;
  • cx; cy; cz - składowe wektora c;
  • bycz - bzcy; bzcx - bxcz; bxcy - bycx - składowe wektora a.

Interpretacja graficzna

Długość wektora uzyskanego w wyniku mnożenia wektorowego wektorów b, c jest ściśle powiązana z kątem α zawartym pomiędzy wektorami b, c w następujący sposób:

Na rysunku 1 można obejrzeć przykładowy wynik mnożenia wektorowego wektorów a, b oraz wpływ kolejności argumentów operatora mnożenia wektorowego na wynik.

ilustracja mnożenia wektorowego
Rys. 1
Interpretacja graficzna mnożenia wektorowego wektorów a, b.

Wzór [2] jest oczywiście długością wektora a powstałego w wyniku iloczynu wektorowego dwóch wektorów b, c jednakże owa długość (jak się okazuje) jest równa liczbowo polu powierzchni równoległoboku zbudowanego na wektorach b, c. Dla lepszego zrozumienia powodu zaistniałej sytuacji zerknąć należy na rysunek 2, na którym widać, że wzór [2] jest wzorem na pole powierzchni równoległoboku.

ilustracja zawiłej przyczyny równości długości wektora a powstałego w wyniku mnożenia wektorowego wektorów b, c oraz pola powierzchni trapezu zbudowanego na wektorach b, c
Rys. 2
Interpretacja graficzna długości wektora a=b×c jako pole powierzchni równoległoboku zbudowanego na wektorach b oraz c.

Jakby tego wszystkiego było mało, istnieje jeszcze iloczyn mieszany trzech wektorów b, c, d, którego wartość jest równa objętości V bryły zbudowanej na owych wektorach. Mieszany iloczyn wektorów ma następującą postać:

Pierwszy człon zależności [3] został rozpisany poprzez zastosowanie zamiast operatora mnożenia skalarnego wzoru [2] ze strony Matematyka: Wektory: Iloczyn skalarny, gdzie czynnik |d|⋅cos β jest wysokością bryły, natomiast |b×c| polem powierzchni jego podstawy. Podstawiając do członu drugiego zależności [3] równanie [2] uzyskuje się wzór na objętość bryły opisanej długościami krawędzi oraz kątami α, β. Dla lepszego zrozumienia powagi sytuacji owej warto rzucić łaskawym okiem na rysunek 3, gdzie wszystko rozpisane zostało graficznie.

interpretacja graficzna iloczynu mieszanego trzech wektorów
Rys. 3
Interpretacja graficzna iloczynu mieszanego trzech wektorów.

Ponieważ objętość V zawsze będzie taka sama niezależnie od tego, którego boku pole powierzchni zostanie przemnożone przez jego wysokość, więc dla mnożenia mieszanego trzech wektorów b, c, d zachodzi następująca równość:

Odwracając kolejność mnożenia wektorowego w równaniu [4] objętość V równa się ujemnej wartości iloczynu mieszanego wektorów b, c, d:

Przyczynę zmiany znaku przy zmianie kolejności argumentów iloczynu wektorowego można zobaczyć na rysunku 4, gdzie dla wektorów b, c iloczyn skalarny jest równy iloczynowi wartości owych wektorów oraz sinusa kąta zakreślonego w kierunku przeciwnym do wskazówek zegara od wektora będącego pierwszym argumentem iloczynu skalarnego do wektora będącego drugim argumentem iloczynu skalarnego. Tak więc, gdy liczony jest iloczyn skalarny b×c, wartość powstałego w ten sposób wektora jest dodatnia, ponieważ α≤180° więc sin α≥0, jednak dla iloczynu skalarnego c×b wartość uzyskanego wektora jest ujemna ponieważ 180°<γ≤360° więc sin γ<0.

Ilustracja wyjaśniająca powód zmiany znaku przy zmianie kolejności argumentów iloczynu wektorowego dwóch wektorów
Rys. 4
Ilustracja wyjaśniająca powód zmiany znaku przy zmianie kolejności argumentów iloczynu wektorowego dwóch wektorów.

Własności operatora mnożenia wektorowego dwóch wektorów:

  • nieprzemienność:

    vec{a}	imesvec{b}=-vec{b}	imesvec{a}

  • iloczyn wektorowy dwóch równoległych jak i takich samych wektorów jest równy zero;
  • przemienność względem mnożenia wektora przez wartość liczbową:

    kcdotleft(vec{a}	imesvec{b}
ight)=left(kcdotvec{a}
ight)	imesvec{b}=vec{a}	imesleft(kcdotvec{b}
ight)

Podwójny iloczyn wektorowy

Podwójny iloczyn wektorowy trzech wektorów można rozpisać w następujący sposób:

Oczywiście powyższa równość wynika z zastosowania równania [1], które można a nawet trzeba rozpisać w następujący sposób:

Każdy z elementów ostatniego członu równania [7] stojących przy wersorach i, j, k można rozpisać w następujący sposób:

Uporządkujmy jeszcze ostatni człon równania [8]:

Wektory b, c można zapisać w następującej postaci:

vec{b}=left(vec{i}cdot b_x+vec{j}cdot b_y+vec{k}cdot b_z
ight)

vec{c}=left(vec{i}cdot c_x+vec{j}cdot c_y+vec{k}cdot c_z
ight)

Dziwnym zbiegiem okoliczności owa postać wektorów b, c występuje w ostatnim członie równania [9], dzięki czemu jego postać zmienia się w następujący sposób:

Z kolei iloczyn skalarny wektorów a, b oraz a, c można zapisać równością, wynikającą oczywiście z zastosowania ogólnego wzoru [1] ze strony Matematyka: Wektory: Iloczyn skalarny na iloczyn skalarny dwóch wektorów:

vec{a}circvec{b}=left(a_xcdot b_x+a_ycdot b_y+ a_zcdot b_z
ight)

vec{a}circvec{c}=left(a_xcdot c_x+a_ycdot c_y+ a_zcdot c_z
ight)

Ostatecznie więc, ostatni człon równania [10] zapisać można następująco:

Po tych wszystkich wnikliwych obliczeniach, z całą pewnością można zapisać równość pomiędzy mnożeniem wektorowym trzech wektorów a mnożeniem skalarnym:

Komentarze