Punkt

Stronę tą wyświetlono już: 3517 razy

Punkt jest jednostką podstawowa w przestrzeniach n wymiarowych, gdzie n należy do zbioru liczb naturalnych bez zera (ponieważ w przestrzeni 0W trudno określić położenie).

Rozpatrzmy więc położenie dowolnego punktu P₁ w układzie 1W, w którym operuje się jedynie na jednej osi. Z tego też wynika, że położenie punktu p₁ jest również odległością tegoż punktu od początku osi współrzędnych.

Każda oś współrzędnych musi mieć zaznaczony zwrot, początek (miejsce zerowe) oraz jednostkę podstawową (wartość 1 na owej osi). Na tak narysowanej osi na rysunku 1 można zaznaczyć punkt, którego współrzędną będzie pewna liczba rzeczywista x.

Ktoś może się spytać, a dlaczego żeś narysował pod kątem tą oś na rysunku 1? Mogłem oczywiście narysować poziomo tę oś, ale chciałem dać do zrozumienia, że oś ta może sobie leżeć dowolnie w przestrzeniach o wyższych wymiarach niż 1.

Wiemy już, jak określa się położenie punktu w układzie 1W, wiemy też, że to położenie jest w tym przypadku również odległością tegoż punktu P₁ od początku osi x, a jak będzie w układzie dwuwymiarowym? W przypadku układów 2W niestety położenie punktu od początku układu osi współrzędnych oznaczanych literami X i Y już nie jest dana w taki prosty sposób. W układach 2W dana współrzędna oznacza odległość danego punktu P₂ od drugiej osi współrzędnych. Układ osi jest tutaj ustawiony w specyficzny sposób, a mianowicie tak, że kąt pomiędzy nimi jest równy 90° (innymi słowy osie układu 2W są do siebie prostopadłe).

Odległość od początku układu współrzędnych XY można obliczyć za pomocą starego dobrego wzoru:

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left|\vec{P_2}\right|=\sqrt{\vec{P}_{2\rightarrow x}\,^2+\vec{P}_{2\rightarrow y}\,^2}

gdzie:

• |P₂| oznacza długość wektora P₂;
• P_2->x, P_2->y - współrzędne punktu P₂

Jakby ktoś jeszcze nie zauważył, punkt P₂ jest opisany przez dwie składowe P_2->x, P_2->y, przez co stanowi on wielkość wektorową.

Zerknijmy okiem jeszcze raz na rysunek 2, gdzie widać, że rzeczywiście składowe P_2->x i P_2->y określają odległość punktu P₂ od osi X i od osi Y.

W przestrzeni 3W położenie punktu P₃ zostanie w jednoznaczny sposób określona dzięki użyciu trzech osi również prostopadłych względem siebie. Osie te nazywa się zazwyczaj X, Y oraz Z.

Tym razem poszczególne składowe punktu P₃ nie oznaczają odległości od osi, nie ma tak łatwo. W tym przypadku określają one odległość punktu P₃ od płaszczyzny. Tak więc składowa P_3->x określa odległość punktu P₃ od płaszczyzny YZ, składowa P_3->y od płaszczyzny XZ i składowa P_3->z odległość od płaszczyzny XY.

Pytanie na śniadanie brzmi: jak więc obliczyć odległość punktu od danej osi? Odpowiedzią jest w zasadzie wzór [1], który trzeba nieco zmodyfikować. Dla obliczenia odległości od osi X punktu P₃ należy użyć następującego wzoru:

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left|\vec{P_3}\right|_{\rightarrow X}=\sqrt{\vec{P}_{3\rightarrow y}\,^2+\vec{P}_{3\rightarrow z},^2}

gdzie:

• |P₃|_->X - oznaczyłem umownie jako odległość punktu P₃ od osi X;
• P_3->y, P_3->z - oznaczyłem umownie składowe punktu P₃.

W analogiczny sposób można obliczyć odległość punktu P₃ od osi Y i Z.

Jeszcze tylko wypiszę ostatni wzór, na odległość punktu P₃ od początku układu współrzędnych:

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left|\vec{P_3}\right|=\sqrt{\vec{P}_{3\rightarrow x}\,^2+\vec{P}_{3\rightarrow y}\,^2+\vec{P}_{3\rightarrow z}\,^2}

gdzie:

• |P₃| oznacza długość wektora P₃;
• P_3->x, P_3->y, P_3->z - współrzędne punktu P₃