Środek ciężkości figur płaskich

Stronę tą wyświetlono już: 188 razy

Definicja

Środkiem ciężkości figury płaskiej nazywa się punkt równowagi sił występujących w przekroju bryły poddawanej skręcaniu lub zginaniu.

Powyższa definicja jest czysto fizyczna, albowiem środek ciężkości figur płaskich jest często wykorzystywany w obliczeniach technicznych, czego dowodem jest dział Mechanika techniczna, w którym to na stronie Mechanika techniczna → Statyka → Wyznaczanie środków ciężkości pokazane zostały przykłady sposobów wyznaczania środków ciężkości figur płaskich.

Wyznaczanie środka ciężkości figur prostych

Już sam Archimedes spostrzegł, że środek ciężkości stosunkowo łatwo można wyznaczyć w figurach geometrycznych, które są symetryczne. Dzieje się tak dlatego, że każda oś symetrii zawsze przechodzi przez środek ciężkości takiej figury płaskiej. Jeżeli więc jakaś figura płaska ma co najmniej dwie osie symetrii, to punkt ich przecięcia wyznacza środek ciężkości.

Istnieje tylko jedna figura płaska, która ma nieskończoną liczbę osi symetrii, tą figurą jest okrąg pokazany na poniższej ilustracji.

Okrąg jako figura płaska z nieskończoną ilością osi symetrii
Rys. 1
Okrąg jako figura płaska z środkowym punktem symetrii.

Kolejny przykład prostych figur płaskich można zobaczyć na poniższej ilustracji.

a)Środek ciężkości prostokątab)Środek ciężkości kwadratuc)Środek ciężkości trójkąta równobocznegod)Środek ciężkości pięciokąta foremnego
Rys. 2
Figury płaskie z osiami symetrii wyznaczającymi środek ciężkości: a) prostokąta; b) kwadratu, c) trójkąta równoramiennego, d) pięciokąta foremnego.

Wyznaczanie środka ciężkości figur dających się podzielić na figury proste

Jeżeli dane ciało można podzielić na części, dla których w łatwy sposób można znaleźć (np. według zasady symetrii) współrzędne środka ciężkości to środek ciężkości takiego ciała można obliczyć korzystając z następującego wzoru:

Równanie [1] [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{S_c}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{V_i\cdot \vec{P_i}}}{\sum_{i=1}^{n}{V_i}}

gdzie:

  • Vi - pole powierzchni elementu składowego figury, której środek ciężkości jest liczony.
  • Pi - położenie środka ciężkości elementu i-tego.

Jeżeli w danym ciele znajduje się pustka, możliwe jest wyznaczenie środka ciężkości tego ciała poprzez przyjęcie ujemnej wartości pola powierzchni tejże pustki we wzorze [1].

Środek ciężkości trójkąta dowolnego

Środek ciężkości trójkąta dowolnego leży w odległości jednej trzeciej wysokości tego trójkąta licząc od boku, na który ta wysokość została spuszczona (rys 3). Powyższe stwierdzenie wynika właściwie z wzoru [2], aby tego dowieść należy przyjąć układ współrzędnych, dla którego oś X pokrywa się z danym bokiem trójkąta (jak na rysunku 3).

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{S_c}=\frac{\vec{P_1}+\vec{P_2}+\vec{P_3}}{3}

W takim przypadku wzór [2] redukuje się dla współrzędnych Y-kowych do obliczenia jednej trzeciej wysokości tego trójkąta.

Wyznaczanie środka ciężkości trójkąta dowolnego
Rys. 3
Wyznaczanie środka ciężkości trójkąta dowolnego.

Ostatecznie więc uzyskuje się wzór na odległość środka ciężkości trójkąta dowolnego od dowolnego boku:

Równanie [3] [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

L_c=\frac{h}{3}

Komentarze