Wyznacznik Grama

Stronę tą wyświetlono już: 620 razy

Macierzą Grama nazywa się iloczyn macierzy M składającej się ze zbioru n wektorów n wymiarowych oraz macierzy transponowanej MT, których wynikiem jest macierz składająca się z iloczynów skalarnych zbioru owych wektorów. Zapis matematyczny macierzy Grama jest więc następujący:

gdzie:

  • M - macierz, której kolumny składają się z wektorów a1, a2,... , an
  • MT - macierz transponowana macierzy M

Ważną własnością macierzy Grama jest jej wyznacznik, który jest równy kwadratowi n-wymiarowej objętości bryły zbudowanej na owych wektorach. W przypadku wektora 1W jest to kwadrat długości, w przypadku wektora 2W kwadrat pola powierzchni równoległoboku, w przypadku wektora 3W kwadrat objętości równoległościanu, itd. W oparciu o wcześniej omówione informacje można zapisać następującą równość pomiędzy wyznacznikiem dwóch wektorów 2W a wyznacznikiem macierzy Grama:

Wyznacznik macierzy Grama jest równy zero, gdy dla 1W wektora jego długość jest równa zero, dla 2W gdy wektory są równoległe, dla 3W gdy wektory leżą w jednej płaszczyźnie lub dwa z nich są równoległe itd.

Obliczenie wyznacznika macierzy Grama 2W:

Obliczenie wyznacznika macierzy Grama 3W:

Komentarze