Obliczanie objętości prostych brył geometrycznych

Stronę tą wyświetlono już: 634 razy

W trakcie omawiania ciekawych kwestii dotyczących iloczynu wektorowego oraz iloczynu mieszanego wspomniałem, że ten drugi iloczyn prowadzi do obliczenia tak naprawdę objętości pewnej bryły przestrzennej. Co ciekawe, w wyniku iloczynu mieszanego otrzymuje się wielkość skalarną, której wartość bezwzględna jest objętością a znak określa kierunek względem płaszczyzny głównej (podstawy) bryły przestrzennej.

Dla uściślenia, spójrzmy łaskawym okiem na rysunek 1, gdzie pokazałem kształt bryły, której objętość można policzyć właśnie za pomocą iloczynu mieszanego wektorów b, c oraz d.

interpretacja graficzna iloczynu mieszanego trzech wektorów
Rys. 1
Interpretacja graficzna iloczynu mieszanego trzech wektorów.

Poniżej przytaczam wzór na objętość równoległoboku zbudowanego na wektorach b, c oraz d.

Równanie [1] [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\left|\left(\vec{b}\timesvec{c}\right)\circ\vec{d}\right|

Jak widać w zależności [1] pojawił się operator wartości bezwzględnej. Przyjrzyjmy się naszemu równoległobokowi, jeżeli podzielimy jego podstawę na pół (powstanie trójkąt), który po wyciągnięciu wzdłuż wektora d utworzy nową bryłę. Ta bryła będzie miała objętość równą połowie tego co w wzorze [1], a więc:

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_\Delta=\left|\frac{1}{2}\cdot\left(\vec{b}\timesvec{c}\right)\circ\vec{d}\right|

Na rysunku 2 można zobaczyć wygląd rozpatrywanej bryły dla wzoru [2]

interpretacja graficzna połowy iloczynu skalarnego dla bryły o podstawie trójkąta
Rys. 2
Interpretacja graficzna połowy iloczynu skalarnego dla bryły o podstawie trójkąta.

Jeżeli ktoś z Was myśli, że na tym koniec, to się grubo myli, ponieważ jedna trzecia wartości wzoru [1] oznacza pole powierzchni ostrosłupa o podstawie zbudowanej na wektorach b i c i krawędzi bocznej danej wektorem d.

Równanie [3] [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\left|\frac{1}{3}\cdot\left(vec{b}\times\vec{c}\right)\circ\vec{d}\right|

Wygląd tak utworzonego ostrosłupa widoczny jest na rysunku 3 poniżej.

interpretacja graficzna jednej trzeciej iloczynu skalarnego dla ostrosłupa o podstawie równoległoboku
Rys. 3
Interpretacja graficzna jednej trzeciej iloczynu skalarnego dla bryły o podstawie równoległoboku.

Na tym jeszcze nie koniec, albowiem możliwe jest zbudowanie ostrosłupa, którego podstawą jest trójkąt zbudowany na wektorach b i c a jedna z jego krawędzi bocznych na wektorze d. W takim przypadku objętość bryły jest równa jednej szóstej wzoru [1] lub jednej trzeciej wzoru [2] lub jednej drugiej wzoru [3].

Równanie [4] [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\left|\frac{1}{6}\cdot\left(\vec{b}\times\vec{c}\right)\circ\vec{d}\right|

Zapewne domyślacie się już, jak wygląda rozpatrywana w wzorze [4] bryłka, jeżeli jednak nie to z pomocą przychodzi poniższy rysunek.

interpretacja graficzna jednej szóstej iloczynu skalarnego dla bryły o podstawie trójkąta
Rys. 4
Interpretacja graficzna jednej szóstej iloczynu skalarnego dla ostrosłupa o podstawie trójkąta.

Komentarze