Obliczanie pól powierzchni figur płaskich

Stronę tą wyświetlono już: 762 razy

Obliczanie pola powierzchni figury płaskiej jest ściśle powiązane z iloczynem wektorowym dwóch wektorów. Okazuje się bowiem, że wystarczy zastosować wzór [1] dla danej figury płaskiej, która musi spełniać jeden ważny warunek, a mianowicie taki, że nie może być to figura, w której dwa dowolne boki się z sobą przecinają.

Równanie [1] [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=\frac{1}{2}\cdot\left|\sum_{i=2}^{i=n-1}{\left(\vec{P}_i-\vec{P}_1\right)\times\left(\vec{P}_{i+1}-\vec{P}_1\right)}\right|

W wyniku iloczynu wektorowego otrzymuje się wektor prostopadły do danych wektorów, którego połowa długości jest równa polu powierzchni trójkąta zbudowanego na tych wektorach. W związku z tym wystarczy wyznaczyć długość wektora końcowego, aby otrzymać pole powierzchni danej płaszczyzny. Graficznie jak wygląda takie obliczanie pola powierzchni pokazuje rysunek 1.

Animacja pokazująca zasadę obliczania pola powierzchni za pomocą wzoru <b>[1]</b>.
Rys. 1
Animacja pokazująca zasadę obliczania pola powierzchni za pomocą wzoru [1].

We wzorze [1] można zastąpić iloczyn wektorowy wyznacznikiem dwóch wektorów 2W w sposób następujący:

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=\left|\frac{1}{2}\cdot\sum_{i=2}^{i=n-1}{\Detleft(\vec{P}_i-\vec{P}_1\, \vec{P}_{i+1}-\vec{P}_1\right)}\right|=\left|\frac{1}{2}\cdot\sum_{i=2}^{i=n-1}\begin{vmatrix}vec{P}_{i\rightarrow x}-vec{P}_{1\rightarrow x} & \vec{P}_{i+1\rightarrow x}-\vec{P}_{1\rightarrow x} \\ \vec{P}_{i\rightarrow y}-\vec{P}_{1\rightarrow y} & \vec{P}_{i+1\rightarrow y}-\vec{P}_{1\rightarrow y}\end{vmatrix}\right|

Dla uściślenia w wzorze [2] najpierw liczona jest suma wyznaczników z różnicy wektorów Pi-P1 oraz Pi+1-P1 a następnie wyznaczana jest wartość bezwzględna z otrzymanej sumy pomnożonej przez 1 / 2. Piszę to, bo niestety symbol | wyrażenie | ma wieloznaczne znaczenie w matematyce.

Poniżej zamieszczam tabelkę zestawień obliczenia pola powierzchni figury z rysunku 1.

xyx-x1y-y1z
P1=3400
P2=1341000
P3=13610220
P4=96628
P5=9126836
P6=1312108-32
P7=1314101020
P8=314010100
P9=312080
P10=71248-32
P11=7642-24
P12=36028
Suma razy 1/2 (Ppow)=52

Z zestawienia jasno wynika, że pole powierzchni Ppow jest równe 52[j2]. I rzeczywiście figura z rysunku 1 składa się z dwóch prostokątów o wymiarach 2 na 10 i jednego o wymiarach 2 na 6 co razem licząc daje pole powierzchni równe 52 [j2].

Ktoś może przyczepić się, że w zestawieniu obliczam tylko składową z wektora otrzymanego z mnożenia wektorowego. Otóż przypominam, że iloczyn wektorowy zwraca wektor prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez mnożone wektory, a ponieważ tak się składa, że te wektory leżą w płaszczyźnie XY, więc tylko składowa Z będzie tu miała znaczenie.

Jeżeli chodzi o obliczanie pól powierzchni figur płaskich, które się przecinają same z sobą, to można policzyć ich pole powierzchni, ale konieczny jest podział takiej figury na części mniejsze jak to zostało pokazane na rysunku 2.

Ilustracja przykładowej figury samoprzecinającej się: <b>a)</b> przed podziałem na mniejsze figury; <b>b)</b> po podziale na mniejsze figury.
Rys. 2
Ilustracja przykładowej figury samoprzecinającej się: a) przed podziałem na mniejsze figury; b) po podziale na mniejsze figury.

Załączniki:

Program obliczający środek ciężkości i pole powierzchni nie przecinającej się figury płaskiej

Komentarze