Wyznacznik dwóch wektorów

Stronę tą wyświetlono już: 1606 razy

Definicja wyznacznika dwóch wektorów 2W

Wyznacznik dwóch wektorów 2W jest wyznacznikiem macierzy utworzonej z owych wektorów obliczanym według następującego wzoru:

Interpretacja graficzna dla wektorów 2W

Istnieje ścisły związek wyznacznika dwóch wektorów 2W z kątem α zawartym między tymi wektorami. Ów związek można zapisać w następujący sposób:

Prawa strona wzoru [2] jest taka sama jak prawa strona wzoru [2] ze strony Matematyka: Wektory: Iloczyn wektorowy wyznaczającego długość wektora 3W powstałego w wyniku mnożenia wektorowego dwóch wektorów trójwymiarowych. Każdy wektor 2W można rozszerzyć do przestrzeni 3W, uznając składową Z owego wektora jako wartość równą 0. Podstawiając do wzoru [2] dane wektory 2W uzyskuje się wektor o długości równej polu powierzchni równoległoboku zbudowanego na owych wektorach. W przypadku wyznacznika nie uzyskuje się wektora, a jedynie wartość liczbową, która również odpowiada polu powierzchni równoległoboku jak na rysunku 1.

Interpretacja graficzna wyznacznika dwóch wektorów 2w
Rys. 1
Interpretacja graficzna dwóch wektorów 2W

Pojawia się jednak pewien problem, otóż tak jak mnożenie skalarne wyznacznik dwóch wektorów nie jest działaniem przemiennym co oznacza, że kolejność jego argumentów jest istotna. Innymi słowy występuje następująca równość, będąca własnością wyznacznika dwóch wektorów 2W:

Jak już wcześniej była o tym mowa przy okazji omawiania interesujących nas informacji o mnożeniu wektorowym, wpływ na zmianę znaku wyznacznika we wzorze [2] ma fakt, że obierany jest kąt kreślony odwrotnie do ruchu wskazówek zegara od wektora będącego pierwszym argumentem wyznacznika, do wektora będącego drugim argumentem wyznacznika. Dla wektorów a, b z rysunku 1 wyznacznik Det(a,b)>0, ponieważ kąt α<180°, w przeciwnym przypadku kąt α spełni następującą nierówność 180°<α<360°. W pierwszym przypadku sin α>0 w drugim sin α<0.

Iloczyn skalarny dwóch wektorów można wykorzystać do wyznaczenia mniejszej wartości kąta α zawartego między dwoma wektorami, co sprawia że uzyskana wartość kąta nie zawsze znajduje się po tej samej stronie danych wektorów. W określeniu kąta zawartego pomiędzy dwoma wektorami zawsze po tej samej ich stronie służy znak wyznacznika tychże wektorów. Gdy wyznacznik jest większy od 0, kąt α jest mniejszy lub równy 0 w przeciwnym przypadku kąt α jest większy od 0, a więc do wyniku wartości mniejszego kąta uzyskanego za pomocą wzoru [4] z strony Matematyka: Wektory: Iloczyn skalarny należy dodać 180°. Formalnie można to zapisać w następujący sposób:

Załóżmy, że dane są dwa wektory a, b takie jak po lewej stronie rysunku 2, wyznacznik dla tych wektorów Det(a,b)>0 a więc zwrócona zostanie mniejsza wartość kąta αL (według wzoru [4]). Gdyby podstawić do wzoru na wyznacznik wektory a, b w odwrotnej kolejności niż uprzednio, wtedy Det(b,a)<0, a więc zwrócona była by wartość większego kąta αR.

Rozpatrzmy teraz przypadek z prawej strony rysunku 2, wyznacznik Det(a,b)<0 a więc zwrócony zostanie większy kąt αL, przy odwrotnym podstawieniu Det(b,a)>0 więc zwrócony zostanie mniejszy kąt αR.

Wpływ położenia wektorów na wartość zwracanego kąta
Rys. 2
Wpływ położenia wektorów na wartość zwracanego kąta.

Wyznacznik trzech wektorów 2W

Wyznacznik dwóch wektorów 2W może posłużyć do sprawdzenia, czy dane dwa wektory a, b są równoległe. Jeżeli tak, wyznacznik powinien być równy 0, ponieważ kąt α zawarty między wektorami a, b może przyjąć jedynie dwie wartości: 180° lub . Sinus obu tych wartości jest równy zero, a więc jak wynika ze wzoru [2] wyznacznik również w takim przypadku jest równy zero.

Dzięki wcześniej wspomnianym własnościom wyznacznika wektorów 2W można określić położenie punktu P1 względem prostej przechodzącej przez punkty P2, P3 obliczając następującą wartość wyznacznika:

Warto rozpisać prawą stronę równania [5] w następujący sposób:

Jak widać, cały zapis sprowadza się do obliczenia sumy wyznaczników wektorów Det(P2, P3); Det(P2, P1); Det(P3, P1). Zastępczo stosowany jest niekiedy następujący zapis macierzowy:

Wzór [7] nazywany jest wyznacznikiem trzech wektorów, a jego praktyczne zastosowanie można obejrzeć na rysunku 3. Gdyby wyznacznik wektorów Det(P2, P1, P3)=0 punkt P1 z rysunku 3 leżał by na prostej przechodzącej przez punkty P2, P3. W przypadku, gdy wyznacznik Det(P2, P1, P3)≠0 punkt P1 leży po jednej z dwóch stron prostej, przy czym dla każdej strony owej prostej przypisany jest inny znak wyznacznika (dodatni lub ujemny). W programowaniu często się używa znaku wyznacznika w celu stwierdzenia, czy dane punkty znajdują się po tej samej stronie prostej lub odcinka danego dwoma punktami.

Graficzna interpretacja wyznacznika trzech wektorów
Rys. 3
Graficzna interpretacja wyznacznika trzech wektorów.

Wyznacznik dwóch wektorów 3W

Istnieje również wersja wyznacznika dwóch wektorów dla wektorów 3W, która przyjmuje następującą postać:

Oczywiście dla wektorów 3W również prawdziwa jest zależność [2], a co za tym idzie również i wyznacznik dwóch wektorów 3W jest równy polu powierzchni równoległoboku zbudowanego na tych wektorach.

Komentarze