Dopełnienia algebraiczne macierzy, macierz dopełnień algebraicznych i macierz dołączona

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 33526 razy

Dopełnienie algebraiczne elementu a_i,j macierzy A stanowi iloczyn współczynnika (-1)^i+j i minoru M_i,j powstałego w wyniku skreślenia i-tego wiersza i j-tej kolumny macierzy A.

$A_{i,j}=(-1)^{i+j}*M_{i,j}$

[1]

Dla każdej macierzy kwadratowej o wymiarach n×n możliwe jest obliczenie n² dopełnień algebraicznych, które składają się na macierz dopełnień algebraicznych.

Przykład

Dla poniższej macierzy obliczyć macierz dopełnień algebraicznych i utworzyć z nich macierz dopełnień algebraicznych A_dop.

A=delim{[}{ matrix{4}{4}{ 1 2 3 4 2 1 3 4 2 3 1 4 2 3 4 1 } }{]}

Obliczenia:

$A_{1,1}=(-1)^{1+1}*delim{|}{ matrix{3}{3}{ 1 3 4 3 1 4 3 4 1 } }{|}=48$

$A_{1,2}=(-1)^{1+2}*delim{|}{ matrix{3}{3}{ 2 3 4 2 1 4 2 4 1 } }{|}=-12$

$A_{1,3}=(-1)^{1+3}*delim{|}{ matrix{3}{3}{ 2 1 4 2 3 4 2 3 1 } }{|}=-12$

$A_{1,4}=(-1)^{1+4}*delim{|}{ matrix{3}{3}{ 2 1 3 2 3 1 2 3 4 } }{|}=-12$

$A_{2,1}=(-1)^{2+1}*delim{|}{ matrix{3}{3}{ 2 3 4 3 1 4 3 4 1 } }{|}=-33$

$A_{2,2}=(-1)^{2+2}*delim{|}{ matrix{3}{3}{ 1 3 4 2 1 4 2 4 1 } }{|}=27$

$A_{2,3}=(-1)^{2+3}*delim{|}{ matrix{3}{3}{ 1 2 4 2 3 4 2 3 1 } }{|}=-3$

$A_{2,4}=(-1)^{2+4}*delim{|}{ matrix{3}{3}{ 1 2 3 2 3 1 2 3 4 } }{|}=-3$

$A_{3,1}=(-1)^{3+1}*delim{|}{ matrix{3}{3}{ 2 3 4 1 3 4 3 4 1 } }{|}=-13$

$A_{3,2}=(-1)^{3+2}*delim{|}{ matrix{3}{3}{ 1 3 4 2 3 4 2 4 1 } }{|}=-13$

$A_{3,3}=(-1)^{3+3}*delim{|}{ matrix{3}{3}{ 1 2 4 2 1 4 2 3 1 } }{|}=17$

$A_{3,4}=(-1)^{3+4}*delim{|}{ matrix{3}{3}{ 1 2 3 2 1 3 2 3 4 } }{|}=-3$

$A_{4,1}=(-1)^{4+1}*delim{|}{ matrix{3}{3}{ 2 3 4 1 3 4 3 1 4 } }{|}=-8$

$A_{4,2}=(-1)^{4+2}*delim{|}{ matrix{3}{3}{ 1 3 4 2 3 4 3 1 4 } }{|}=-8$

$A_{4,3}=(-1)^{4+3}*delim{|}{ matrix{3}{3}{ 1 2 4 2 1 4 2 3 4 } }{|}=-8$

$A_{4,4}=(-1)^{4+4}*delim{|}{ matrix{3}{3}{ 1 2 3 2 1 3 2 3 1 } }{|}=12$

Troszeczkę liczenia było, a to przecie tylko macierz 4×4. Teraz możemy ułożyć macierz dopełnień algebraicznych A_dop w następujący sposób:

$A_{dop}=delim{[}{ matrix{4}{4}{ A_{1,1} A_{1,2} A_{1,3} A_{1,4} A_{2,1} A_{2,2} A_{2,3} A_{2,4} A_{3,1} A_{3,2} A_{3,3} A_{3,4} A_{4,1} A_{4,2} A_{4,3} A_{4,4} } }{]}=$ delim{[}{matrix{4}{4}{ {48} {-12} {-12} {-12} {-33} {27} {-3} {-3} {-13} {-13} {17} {-3} {-8} {-8} {-8} {12}} }{]}

[2]

Macierz transponowana macierzy dopełnień algebraicznych A_dop^T nazywa się macierzą dołączoną A^D, która dla naszego przypadku przyjmuje postać następującą:

$A^{D}=delim{[}{matrix{4}{4}{ {48} {-33} {-13} {-8} {-12} {27} {-13} {-8} {-12} {-3} {17} {-8} {-12} {-3} {-3} {12} } }{]}$

[3]

Strony powiązane