Macierz odwrotna

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 20365 razy

Macierz odwrotna A^-1 macierzy A to taka macierz, której iloczyn A⋅A^-1 jest równy macierzy jednostkowej I. Wyznaczenie macierzy odwrotnej macierzy A jest możliwe jedynie wtedy, gdy wyznacznik owej macierzy jest różny od zera. Tego typu macierze nazywa się mianem nieosobliwych, zaś macierze, których wyznacznik jest równy zeru nazywa się osobliwymi.

[1]

Macierz odwrotną można obliczyć tworząc macierz transponowaną dopełnień algebraicznych A^D macierzy A, która podzielona przez wyznacznik macierzy A daje w wyniku macierz odwrotną zgodnie z wzorem [2].

[2]

Macierz transponowaną dopełnień algebraicznych A^D wyznacza się w następujący sposób:

[3]

gdzie:

|M_i,j| - wyznacznik macierzy powstałej ze skreślenia i-tego wiersza i j-tej kolumny macierzy A.

Przykład

Wyznaczyć macierz odwrotną macierzy A.

Dane:

A=egin{bmatrix}
3 & 2 & 1 & 7
8 & 2 & 2 & 4
5 & 0 & 3 & 3
1 & 0 & 0 & 9
end{bmatrix}

Rozwiązanie:

Przed rozpoczęciem właściwych obliczeń macierzy odwrotnej A^-1 oraz macierzy dopełnień algebraicznych A^D warto obliczyć wyznacznik macierzy A w celu stwierdzenia czy macierz A jest macierzą nieosobliwą

|A|=egin{vmatrix}
3 & 2 & 1 & 7
8 & 2 & 2 & 4
5 & 0 & 3 & 3
1 & 0 & 0 & 9
end{vmatrix}=-2cdotegin{vmatrix}
8 & 2 & 4
5 & 3 & 3
1 & 0 & 9
end{vmatrix}+2cdotegin{vmatrix}
3 & 1 & 7
5 & 3 & 3
1 & 0 & 9
end{vmatrix}=-2cdotleft(8cdot 3cdot 9+1cdot 2cdot3-4cdot 3cdot 1-9cdot 2cdot 5
ight)+2cdotleft(3cdot 3cdot 9+1cdot 1cdot 3-7cdot 3cdot 1-9cdot 1cdot 5
ight)=-204

Wyznacznik macierzy A≠0, więc można przystąpić do wyliczenia argumentów macierzy transponowanej dopełnień algebraicznych A^D macierzy A.

Argumenty pierwszego wiersza macierzy A^D:

$A_{1,1}=(-1)^{1+1}cdot egin{vmatrix} 2 & 2 & 4 0 & 3 & 3 0 & 0 & 9 end{vmatrix}=2cdot 3cdot 9=54$

$A_{1,2}=(-1)^{2+1}cdot egin{vmatrix} 2 & 1 & 7 0 & 3 & 3 0 & 0 & 9 end{vmatrix}=-2cdot 3cdot 9=-54$

$A_{1,3}=(-1)^{3+1}cdot egin{vmatrix} 2 & 1 & 7 2 & 2 & 4 0 & 0 & 9 end{vmatrix}=2cdot 2cdot 9-9cdot 1cdot 2=18$

$A_{1,4}=(-1)^{4+1}cdot egin{vmatrix} 2 & 1 & 7 2 & 2 & 4 0 & 3 & 3 end{vmatrix}=-left(2cdot 2cdot 3+2cdot 3cdot 7-4cdot 3cdot 2-3cdot 1cdot 2 ight)=-24$

Argumenty drugiego wiersza macierzy A^D:

$A_{2,1}=(-1)^{1+2}cdot egin{vmatrix} 8 & 2 & 4 5 & 3 & 3 1 & 0 & 9 end{vmatrix}=-left(8cdot 3cdot 9+1cdot 2cdot 3-4cdot 3cdot 1-9cdot 2cdot 5 ight)=-120$

$A_{2,2}=(-1)^{2+2}cdot egin{vmatrix} 3 & 1 & 7 5 & 3 & 3 1 & 0 & 9 end{vmatrix}=3cdot 3cdot 9+1cdot 1cdot 3-7cdot 3cdot 1-9cdot 1cdot 5=18$

$A_{2,3}=(-1)^{3+2}cdot egin{vmatrix} 3 & 1 & 7 8 & 2 & 4 1 & 0 & 9 end{vmatrix}=-left(3cdot 2cdot 9+1cdot 1cdot 4-7cdot 2cdot 1-9cdot 1cdot 8 ight)=28$

$A_{2,4}=(-1)^{4+2}cdot egin{vmatrix} 3 & 1 & 7 8 & 2 & 4 5 & 3 & 3 end{vmatrix}=3cdot 2cdot 3+8cdot 3cdot 7+5cdot 1cdot 4-7cdot 2cdot 5-4cdot 3cdot 3-3cdot 1cdot 8=76$

Argumenty trzeciego wiersza macierzy A^D:

$A_{3,1}=(-1)^{1+3}cdot egin{vmatrix} 8 & 2 & 4 5 & 0 & 3 1 & 0 & 9 end{vmatrix}=1cdot 2cdot 3-9cdot 2cdot 5=-84$

$A_{3,2}=(-1)^{2+3}cdot egin{vmatrix} 3 & 2 & 7 5 & 0 & 3 1 & 0 & 9 end{vmatrix}=-left(1cdot 2cdot 3-9cdot 2cdot 5 ight)=84$

$A_{3,3}=(-1)^{3+3}cdot egin{vmatrix} 3 & 2 & 7 8 & 2 & 4 1 & 0 & 9 end{vmatrix}=3cdot 2cdot 9+1cdot 2cdot 4-7cdot 2cdot 1-9cdot 2cdot 8=-96$

$A_{3,4}=(-1)^{4+3}cdot egin{vmatrix} 3 & 2 & 7 8 & 2 & 4 5 & 0 & 3 end{vmatrix}=-left(3cdot 2cdot 3+5cdot 2cdot 4-7cdot 2cdot 5-3cdot 2cdot 8 ight)=60$

Argumenty czwartego wiersza macierzy A^D:

$A_{4,1}=(-1)^{1+4}cdot egin{vmatrix} 8 & 2 & 2 5 & 0 & 3 1 & 0 & 0 end{vmatrix}=-2cdot 3cdot 1=-6$

$A_{4,2}=(-1)^{2+4}cdot egin{vmatrix} 3 & 2 & 1 5 & 0 & 3 1 & 0 & 0 end{vmatrix}=2cdot 3cdot 1=6$

$A_{4,3}=(-1)^{3+4}cdot egin{vmatrix} 3 & 2 & 1 8 & 2 & 2 1 & 0 & 0 end{vmatrix}=-left(2cdot 2cdot 1-1cdot 2cdot 1 ight)=-2$

$A_{4,4}=(-1)^{4+4}cdot egin{vmatrix} 3 & 2 & 1 8 & 2 & 2 5 & 0 & 3 end{vmatrix}=3cdot 2cdot 3+5cdot 2cdot 2-1cdot 2cdot 5-3cdot 2cdot 8=-20$

Ostatecznie macierz transponowana dopełnień algebraicznych A^D macierzy A jest równa:

$A^D=egin{bmatrix} A_{1,1} & A_{2,1} & A_{3,1} & A_{4,1} A_{1,2} & A_{2,2} & A_{3,2} & A_{4,2} A_{1,3} & A_{2,3} & A_{3,3} & A_{4,3} A_{1,1} & A_{2,4} & A_{3,4} & A_{4,4} end{bmatrix}=egin{bmatrix} 54 & -54 & 18 & -24 -120 & 18 & 28 & 76 -84 & 84 & -96 & 60 -6 & 6 & -2 &-20 end{bmatrix}$

Macierz odwrotna macierzy A jest więc równa (zgodnie z wzorem [2]):

$A^{-1}=frac{A^D}{|A|}=egin{bmatrix} 54 & -54 & 18 & -24 -120 & 18 & 28 & 76 -84 & 84 & -96 & 60 -6 & 6 & -2 &-20 end{bmatrix}cdot left(-frac{1}{204} ight)=egin{bmatrix} -cfrac{9}{34} & cfrac{9}{34} & -cfrac{3}{34} & cfrac{2}{17} cfrac{10}{17} & -cfrac{3}{34} & -cfrac{7}{51} & -cfrac{19}{51} cfrac{7}{17} & -cfrac{7}{17} & cfrac{8}{17} & -cfrac{5}{17} cfrac{1}{34} & -cfrac{1}{34} & cfrac{1}{102} &-cfrac{5}{51} end{bmatrix}$

Sprawdzenie

$Acdot A^{-1}=egin{bmatrix} 3 & 2 & 1 & 7 8 & 2 & 2 & 4 5 & 0 & 3 & 3 1 & 0 & 0 & 9 end{bmatrix}cdotegin{bmatrix} -cfrac{9}{34} & cfrac{9}{34} & -cfrac{3}{34} & cfrac{2}{17} cfrac{10}{17} & -cfrac{3}{34} & -cfrac{7}{51} & -cfrac{19}{51} cfrac{7}{17} & -cfrac{7}{17} & cfrac{8}{17} & -cfrac{5}{17} cfrac{1}{34} & -cfrac{1}{34} & cfrac{1}{102} &-cfrac{5}{51} end{bmatrix}=egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end{bmatrix}$

Korzystając z macierzy odwrotnej można rozwiązać dowolny liniowy układ równań. Dla przykładu stworzę takowy układ na bazie argumentów macierzy A z wcześniejszego przykładu:

$egin{cases} 3cdot x_1 + 2cdot x_2 + x_3 + 7cdot x_4=3 8cdot x_1 + 2cdot x_2 + 2cdot x_3 + 4cdot x_4=4 5cdot x_1 + 3cdot x_3 + 3cdot x_4=2 x_1 + 9cdot x_4=0 end{cases}$

Mnożąc macierz odwrotną A^-1 macierzy A przez macierz wyrazów wolnych uzyskuje się wartości niewiadomych x₁, x₂, x₃, x₄ w następujący sposób:

$egin{bmatrix} x_1 x_2 x_3 x_4 end{bmatrix}=egin{bmatrix} -cfrac{9}{34} & cfrac{9}{34} & -cfrac{3}{34} & cfrac{2}{17} cfrac{10}{17} & -cfrac{3}{34} & -cfrac{7}{51} & -cfrac{19}{51} cfrac{7}{17} & -cfrac{7}{17} & cfrac{8}{17} & -cfrac{5}{17} cfrac{1}{34} & -cfrac{1}{34} & cfrac{1}{102} &-cfrac{5}{51} end{bmatrix}cdot egin{bmatrix} 3 4 2 0 end{bmatrix}=egin{bmatrix} -cfrac{9}{34}cdot 3 + cfrac{9}{34}cdot 4 -cfrac{3}{34}cdot 2 cfrac{10}{17}cdot 3 -cfrac{3}{34}cdot 4 -cfrac{7}{51}cdot 2 cfrac{7}{17}cdot 3 -cfrac{7}{17}cdot 4 + cfrac{8}{17}cdot 2 cfrac{1}{34}cdot 3 -cfrac{1}{34}cdot 4 + cfrac{1}{102}cdot 2 end{bmatrix}=egin{bmatrix} cfrac{3}{34} 1cfrac{7}{51} cfrac{9}{17} -cfrac{1}{102} end{bmatrix}$

Ogólny wzór rozwiązywania układów równań tą metodą jest następujący:

[4]

gdzie:

x₁, x₂, ... , x_n - niewiadome układu równań;
a_1,1, ... , a_n,n - współczynniki układu równań stojące przy niewiadomych;
w₁, w₂, ... , W_n - wyrazy wolne układu równań.

Warto wspomnieć o macierzy ortogonalnej, która spełnia następującą równość:

[5]

Ponieważ iloczyn macierzy odwrotnej A^-1 oraz macierzy A jest równy macierzy jednostkowej I, więc jeżeli dana macierz jest macierzą ortogonalną, to spełniony jest następujący warunek:

[6]