Macierz kosinusów kierunkowych

Stronę tą wyświetlono już: 7172 razy

Zastosowanie macierzy kosinusów kierunkowych M_c zostało omówione na stronie Matematyka → Wektory → Obrót wektora za pomocą wektora kierunkowego, gdzie rozwiązane zostały dwa przykłady obrotu wektora V za pomocą jednego wektora kierunkowego oraz za pomocą dwóch wektorów kierunkowych.

Macierz kosinusów w układach 2W

Załóżmy, że mamy parę wersorów i₂, j₂ prostopadłych do siebie i takich, że i₂, j₂≠i oraz i₂, j₂≠j, gdzie i oraz j są wersorami leżącymi: pierwszy w osi x, zaś drugi w osi y.

Gdy już mamy tą naszą parę wektorów, to macierz kosinusów tworzymy za pomocą iloczynu skalarnego par wersorów w następujący sposób:

[1]

Ktoś może zadać sobie wielce zacne pytanie: a na co mnie to? Odpowiedź brzmi: to się przydaje, gdy chcesz obrócić dany punkt lub zbór punktów o kąt określony przez pewien inny dowolny wektor (bele by nie był to wektor zerowy). O tym była właśnie mowa na stronie Matematyka → Wektory → Obrót wektora za pomocą wektora kierunkowego. Jak użyć macierzy z wzoru [1] ten kto czytał już o macierzy obrotu M_o może słusznie się domyślić, że należy macierz kosinusów kierunkowych M_c przemnożyć przez obracany wektor w sposób następujący:

[2]

Powyższy wzór obraca wektor V względem początku układów współrzędnych o kąt zawarty pomiędzy wersorem i a wersorem i₂ lub (jak kto woli) pomiędzy wersorem j a wersorem j₂. Możliwe jest wyznaczenie wersorów i₂ oraz j₂ na podstawie jednego tylko wektora kierunkowego. Przykład obrotów wykonywanych na płaskim obiekcie za pomocą macierzy kosinusów kierunkowych M_c można zobaczyć na animacji z rysunku 1.

Przykładowe zadania z obrotów w 2W układzie za pomocą macierzy kosinusów M_c

Zadanie 1

Obrócić wektor V₁ wektorem kierunkowym V₂.

Zacząć należy od wyznaczenia wersorów i₂ oraz j₂ wykorzystując w tym celu wzory [1] i [2] z strony Matematyka → Wektory → Obrót wektora za pomocą wektora kierunkowego.

Teraz, gdy wersory zostały wyznaczone, obliczyć należy macierz kosinusów M_c zgodnie z wzorem macierzy zawartej w równaniu [3].

Pozostało pomnożyć macierz kosinusów M_c z wektorem V₁ zgodnie z wzorem [3]:

Zadanie 2

Obrócić wektor V₃ o kąt zawarty pomiędzy wektorami V₁ i V₂.

Obliczanie wersorów dla wektora V₁:

Obliczanie wersorów dla wektora V₂:

Wyliczam macierz kosinusów M_c:

Obracanie wektora V₃:

Macierz kosinusów kierunkowych M_c w układach 3W

Myślę, że o wiele ciekawszym zagadnieniem, jest fakt, że możemy sobie obrócić dowolny punkt 3W za pomocą macierzy kosinusów kierunkowych M_c. Do konstrukcji takiej macierzy (jak zapewne się domyślacie) potrzebne są trzy wersory i₂, j₂ oraz k₂, które muszą być względem siebie prostopadłe i dobrze by było, gdyby się nie pokrywały z wersorami układu współrzędnych (bo taki obrót to raczej niewiele nam da).

Wzór na otrzymacie macierzy kosinusów kierunkowych M_c jest więc następujący:

[3]

Cechy macierzy kosinusów kierunkowych M_c

Każda macierz kosinusów kierunkowych M_c jest macierzą ortogonalną i jako taka spełnia określone warunki:

1) Wartość wyznacznika macierzy obrotu M_c zawiera się w przedziale |M_c|∈{-1; 1}

2) Transpozycja macierzy kosinusów kierunkowych M_c^T jest równa macierzy M_c^-1:

[4]

3) Iloczyn macierzy kosinusów kierunkowych M_c z jej transpozycją M_c^T daje w wyniku macierz jednostkową:

[5]