Obliczenia układów dynamicznych metodą prac przygotowawczych

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 4792 razy

Obliczyć przyspieszenie a_c krążka toczącego się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie połączonego za pośrednictwem nieważkiego i nierozciągliwego cięgna z krążkiem, do którego przyłożony został moment obrotowy M będący jedynym czynnikiem wywołujący ruch układu.

Rysunek do zadania 1 — Rys. 1
Rysunek układu ciał wprawianych w ruch momentem obrotowym M.

Dane:

R[m]; Q[N]; M[Nm]

Rozwiązanie:

Na rysunku 1 zaznaczone zostały jedynie podstawowe informacje, bez oznaczenia wektorów liniowego przyspieszenia a, przyspieszeń kątowych ε a także przesunięć prac przygotowawczych układu niezbędnych do ułożenia równania d'Alamberte'a. Innymi słowy trzeba zrobić nowy rysunek z wszystkimi potrzebnymi oznaczeniami (co też i z najdzikszą rozkoszą czynię poniżej).

Zgodnie z wcześniej omawianą teorią, suma iloczynów założonego przesunięcia i sił bezwładności F_B oraz iloczynu sił sprawczych i założonego dla nich przesunięcia musi równać się zeru. Ważne jest, żeby pamiętać o kierunku bo wektory przeciwne mają przeciwny znak.

Równanie d'Alamberte'a dla rozpatrywanego układu będzie więc wyglądało następująco:

[1]

Po uporządkowaniu powyższego równania otrzymuję:

[2]

W powyższym równaniu jest całkiem sporo niewiadomych, do których należą między innymi przemieszczenia. Nie ma jednak powodów do paniki, albowiem pozbyć się ich można korzystając z wzajemnych zależności przemieszczeniowych. Ułożę więc zależność wszystkich przemieszczeń od przemieszczenia δx₁ a dlaczego do δx₁? Odpowiedź brzmi: bo taki mam kaprys.

Zależność przemieszczenia δφ₂ od przemieszczenia δx₁:

[3]

Zależność przemieszczenia δx₂ od przemieszczenia δx₁:

[4]

Zależność przemieszczenia δφ₁ od przemieszczenia δx₁:

[5]

Podstawić pozostało już tylko do równania [2] zależności przemieszczeniowe [3], [4] oraz [5] otrzymując:

[6]

Równanie [6] podzielić obustronnie przez δx₁ i uprościć otrzymując tym samym:

[7]

Pozostało już tylko opisanie zależności kinetycznych, w celu pozbycia się kolejnych niewiadomych.

Zależność kinetyczne ε₂ od a_c:

[8]

Zależność kinetyczne a₂ od a_c:

[9]

Zależność kinetyczne ε₁ od a_c:

[10]

Podstawienie do równania [7] zależności [8], [9] i [10]:

[11]

Po podzieleniu przekształceniu i uproszczeniu otrzymuje się upragnioną wartość a_c.

[12]

Zadanie 2

Obliczyć przyśpieszenie a_c krążka o masie m zawieszonego na nieważkim i nierozciągliwym cięgnie.

Rysunek do zadania 2 — Rys. 3
Rysunek układu do zadania.

Dane:

r[m];m[kg]

Rozwiązanie:

Przed przystąpieniem do rozwiązania zadania, uzupełnić należy najpierw oznaczenia na rysunku 3 tak jak to zostało wykonane na rysunku 4.

Jak widać, na rysunku 4 naniesione już zostały podstawowe zależności przemieszczeń liniowych w zależności od h_c oraz liniowych przyspieszeń w zależności od a_c co ułatwi rozpisanie równania d'Alamberte'a:

[13]

Po uproszczeniu otrzymuje się następującą postać równania [13]:

[14]

Zależności przemieszczeń:

[15]

[16]

[17]

Podstawienie do równania [14] zależności [15], [16] i [17]:

[18]

Uproszczenie wyrażenia [18]:

[19]

Zależności kinetyczne:

[20]

[21]

[22]

Podstawiając zależności [20], [21] i [22] do równania [19] z jednoczesnym uproszczeniem i przekształceniem otrzymuje się szukaną wartość a_c:

[23]

Zadanie 3

Obliczyć przyśpieszenie a_c krążka o ciężarze 4Q zawieszonego na nieważkim i nierozciągliwym cięgnie.

Rysunek do zadania 3 — Rys. 5
Rysunek układu do zadania.

Dane:

r[m];Q[N]

Rozwiązanie:

Tradycyjnie od uzupełnienia rysunku zacząć trzeba.

Równanie d'Alamberte'a rozpisać trzeba:

[24]

Upraszczając równanie [24] odrobinę otrzymuje się następującą jego postać:

[25]

Zależności przemieszczeń:

[26]

[27]

[28]

$delta varphi_2=frac{2cdotdelta x_c}{r}$

[29]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\delta \varphi_2=\frac{2\cdot\delta x_c}{r}

[30]

Po podstawieniu do zależności [25] wyrażeń [26] do [30] i uproszczeniu otrzymuje się następujące równanie:

[31]

Zależności kinetyczne:

Po podstawieniu do równania [31] zależności [32] do [36], uproszczeniu i przekształceniu otrzymuje się wartość przyspieszenia a_c:

[37]

Zadanie 4

Obliczyć przyśpieszenie a ciężarka o masie 2m położonego na płaskiej poziomej płaszczyźnie. W układzie należy pominąć tarcie ciężarków o podłoże oraz masę cięgna.

Rysunek do zadania 4 — Rys. 7
Rysunek układu do zadania.

Dane:

R[m];m[kg] α=30°

Rozwiązanie:

Naniesienie dodatkowych oznaczeń na rysunku 8.

Po raz kolejny trzeba rozpisać równanie d'Alamberte'a:

$-frac{1}{2}cdot mcdot r^2cdot varepsilon_1cdot delta varphi_1-frac{1}{2}cdot 4cdot mcdot 4cdot r^2cdot varepsilon_1cdotdelta varphi_1-frac{1}{2}cdot mcdot r^2cdotvarepsilon_2cdotdelta varphi_2-frac{1}{2}cdot 4cdot mcdot 4cdot r^2cdotvarepsilon_2cdotdelta varphi_2-frac{1}{2}cdot 9cdot mcdot 9cdot r^2cdot varepsilon_2cdotdelta varphi_2-frac{1}{2}cdot 4cdot mcdot 4cdot r^2cdotvarepsilon_3cdotdelta varphi_3-frac{1}{2}cdot mcdot r^2cdotvarepsilon_3cdotdeltavarphi_3-frac{1}{2}cdot 4cdot mcdot 4cdot r^2cdot varepsilon_4cdotdelta varphi_4-$

$frac{1}{2}cdot 9cdot mcdot 9cdot r^2cdotvarepsilon_4cdotdelta varphi_4-frac{1}{2}cdot 16cdot mcdot 16cdot r^2cdot varepsilon_4cdotdelta varphi_4-2cdot mcdot acdotdelta x_1-2frac{1}{2}cdot mcdot a_2cdotdelta x_2-2frac{1}{2}cdot mcdot gcdot frac{sqrt{3}}{2}cdotdelta x_2-6cdot mcdot a_2cdotdelta x_2-3cdot mcdot a_3cdotdelta x_3-mcdot a_4cdot delta x_4+Fcdotdelta x_1+6cdot mcdot gcdot delta x_2+mcdot gcdot delta x_4-3cdot mcdot gcdot delta x_3=0$

[38]

Po uproszczeniu równania [38] otrzymuje się taką oto jego postać:

[39]

Prawda, że ładne równanko wyszło? Zaraz się uprości, gdy tylko rozpisze się przemieszczeń zależności:

Jak uprzednio tak i teraz podstawionko zrobić trzeba, czyli do równania [39] podstawić należy zależności od [40] do [46], co też i z najdzikszą rozkoszą czynię równocześnie upraszczając:

[47]

Jakże piękne równanie [46] zawiera kilka niewiadomych, do których pozbycia się należy wykorzystać w perfidny sposób zależności kinetyczne:

I ponownie choć tym razem do równania [47] trzeba zrobić małe podstawienie zależności od [48] do [54], a następnie uprościć je i przekształcić uzyskując wartość przyspieszenia a.

[55]

Zadanie 5 - ostatnie starcie

Obliczyć przyśpieszenie a krążka toczącego się bez poślizgu po równi pochyłej.

Rysunek do zadania 5 — Rys. 9
Rysunek układu do zadania.

Dane:

R[m];m[kg]

Rozwiązanie:

Uzupełnienie oznaczeń.

Równanie d'Alamberte'a:

[56]

Powyższe równanie, choć piękne to jednak warto conieco uprościć:

[57]

Spokojnie, równanie powyższe się uprości, gdy rozpisze się przemieszczeń zależności:

Podstawiając do równania [57] zależności [58] do [64] i upraszczając otrzymuje się następujące równanie:

[65]

Piękne powyższe równanie jest, zgodzicie chyba się? Nie? Niektórych ludzi trudno zadowolić, ale dobra to się zmieni gdy rozpisane i podstawione zostaną zależności kinetyczne:

[66]

[67]

[68]

$frac{a_3}{r}=frac{a_c}{3cdot r}Rightarrow a_3=frac{a_c}{3}$

Najwyższy czas do równania [65] podstawić zależności [68] do [72] jednocześnie uproszczając i przekształcając dzięki czemu uzyskuje się wartość przyspieszenia a_c.

[73]