Przyspieszenie styczne, normalne i binormalne

Stronę tą wyświetlono już: 588 razy

Definicje, interpretacja geometryczna i przykładowe obliczenia

Tak się nieszczęśliwie składa, że wektor całkowity a(t) nie jest jednocześnie wektorem stycznym do funkcji toru lotu, nie jest on również wektorem prostopadłym do funkcji toru lotu a te dwie wielkości fizyczne okazują się najbardziej przydatne.

Ktoś mógłby zadać jednak pytanie: a co z wektorem V(t), dlaczego dla niego nie liczymy stycznych i normalnych? Szczęście w nieszczęściu polega na tym, że nasz wektor V(t) jest pochodną funkcji przemieszczenia r(t) a więc wektor V(t) musi być styczny do r(t) (czego powiedzieć nie można w przypadku wektora a(t).

Dla lepszego zrozumienia powagi sytuacji zerknijmy łaskawym okiem na rysunek 1, który w zasadzie jest animacją. Na owym rysunku - animacji widoczne są: v(t) - zaznaczony na zielono (może być niewidoczny bo przykryty przez wektor przyspieszenia stycznego); a(t) - zaznaczony na ciemno niebieski kolor; ast - zaznaczony na kolor magenta; an - zaznaczony na kolor jasno niebieski. Wszystkie te wektory zostały obliczone dla danej wartości t, której wartość zmienia się od 0,05 [s] do 1 [s] z krokiem co 0,05 [s].

Animacja zmiany wektorów funkcji: <b>s(t)</b>; <b>V(t)</b>·0,15; <b>a(t)</b>·0,08; <b>a<sub>st</sub></b>(t)</b>·0,08 oraz <b>a<sub>n</sub>(t)</b>·0,08. (Współczynniki <b>0,15</b> oraz <b>0,08</b> były konieczne aby wektory mieściły się jako tako w obszarze wykresu)
Rys. 1
Animacja zmiany wektorów funkcji: s(t); V(t)·0,15; a(t)·0,08; ast(t)·0,08 oraz an(t)·0,08. (Współczynniki 0,15 oraz 0,08 były konieczne aby wektory mieściły się jako tako w obszarze wykresu)

Wykres wygenerowany w programie wxMaxima

Nie będę ukrywał, że animacja z rysunku 1 dotyczy bezpośrednio zadania 3 z strony Fizyka → Kinematyka → Funkcje zależności położenia w różnych układach odniesienia oraz zadania 2 z strony Fizyka → Kinematyka → Funkcje zależności przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia w różnych układach odniesienia.

Skoro już wiadomo, że wektor całkowity przyspieszenia a(t) nie jest styczny do funkcji toru ruchu r(t) to trzeba coś z tym zrobić. I tutaj przychodzi na pomoc układ współrzędnych związanych bezpośrednio z funkcją trajektorii ruchu r(t). Układ ten definiują trzy wektory: wektor styczny T do funkcji r(t) w danym punkcie; wektor normalny N oraz wektor binormalny B, którego wartość jest różna od zera jedynie wtedy, gdy wektor przyspieszenia całkowitego nie leży w płaszczyźnie wektorów T i N. Wektory N, T oraz B są wektorami jednostkowymi i ortogonalnymi (prostopadłymi do siebie). Wektory te dla danego punktu danej funkcji r(t) tworzą trójścian Frenata jak na rysunku 2.

Lokalny układ wektorów podstawowych Frenata
Rys. 2
Lokalny układ wektorów podstawowych Frenata.

Wektor przyspieszenia stycznego w układzie wektorów podstawowych Frenata przyjmuje następującą postać:

Równanie [1] [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{a}(t)=a_{st}\cdot\vec{T}+a_n\cdot\vec{N}+a_B\cdot\vec{B}

Załóżmy, że wektor przyspieszenia binormalnego aB jest równy zero a co za tym idzie wektor całkowitego przyspieszenia a(t) leży w płaszczyźnie wektorów: stycznego T i normalnego N, w takim bowiem przypadku można obliczyć wektor przyspieszenia stycznego ast·T z następującego wzoru:

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a_{st}\cdot\vec{T}=\frac{dV}{dt}\cdot\vec{T}

oraz wektor przyspieszenia normalnego an·N z zależności:

Równanie [3] [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a_{n}\cdot\vec{N}=\frac{V^2}{\delta}\cdot\vec{N}

gdzie:

δ - promień funkcji w danym punkcie.

Zwróćmy swe oczęta w kierunku wcześniej wspomnianego zadania i spróbujmy obliczyć wartość przyspieszenia stycznego ast dla czasu t=3/4 [s].

Funkcja prędkości całkowitej po czasie:

Równanie [4] [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V(t)=\sqrt{\left[V_x(t)\right]^2+\left[V_y(t)\right]^2}

Funkcje Vx(t) i Vy(t) zostały już policzone w zadaniu 2 są to wzory [16] i [17]:

Równanie [5] [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V(t)=\sqrt{\left[2\cdot\pi\cdot t\cdot\cos(\pi\cdot t^2)\cdot R+2\cdot\pi\cdot t\cdot R\right]^2+\left[-2\cdot\pi\cdot t\cdot\sin(\pi\cdot t^2)\cdot R\right]^2}

Nie muszę chyba przekonywać, że dość kłopotliwa w obliczaniu jest to pochodna i dlatego za promień R przyjmuję wartość 1 i rozwiązanie tej pochodnej obliczone w programie wxMaxima wrzucam poniżej.

Równanie [6] [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a_{st}(t)=\frac{8\,{\pi }^{2}\,t\,{\mathrm{sin}\left( \pi \,{t}^{2}\right) }^{2}+2\,\left( 2\,\pi \,t\,\mathrm{cos}\left( \pi \,{t}^{2}\right) +2\,\pi \,t\right) \,\left( -4\,{\pi }^{2}\,{t}^{2}\,\mathrm{sin}\left( \pi ,{t}^{2}\right) +2\,\pi \,\mathrm{cos}\left( \pi \,{t}^{2}\right) +2\,\pi \right) +16\,{\pi }^{3}\,{t}^{3}\,\mathrm{cos}\left( \pi \,{t}^{2}\right) \,\mathrm{sin}\left( \pi \,{t}^{2}\right) }{2\,\sqrt{4\,{\pi }^{2}\,{t}^{2}\,{\mathrm{sin}\left( \pi \,{t}^{2}\right) }^{2}+{\left( 2\,\pi \,t\,\mathrm{cos}\left( \pi \,{t}^{2}\right) +2\,\pi \,t\ight) }^{2}}}

Po podstawieniu i przeliczeniu dla ast(t=3/4 [s]) przyjmuje wartość równą -9.193920464282291 [m/s2].

Wyznaczmy jeszcze wektor styczny T wykorzystując w przebiegły sposób wzór [3] z działu Matematyka → Wektory → Iloczyn wektorowy przez liczbę. Jak wiadomo już nam wektor prędkości V(t) jest wektorem stycznym do funkcji toru ruchu, a więc wystarczy go podzielić przez jego długość aby otrzymać poszukiwany wektor styczny T:

Równanie [7] [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{T(t)}=\frac{\vec{V(t)}}{\left|\vec{V(t)}\right|}

Wyznaczmy nasz wektor V(t=3/4 [s]):

Równanie [8] [8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{V}\left(t=\frac{3}{4}[s]\right)=\left[\begin{matrix}3.793047496736187 \\ -4.621841747495691 \end{matrix}\right]

Długość wektora już policzona będzie więc wynosiła 5.979015843045633, co po podstawieniu do wzoru [7] wraz ze wzorem [8] daje wektor styczny T(t=3/4 [s]):

Równanie [9] [9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{T}\left(t=\frac{3}{4}[s]\right)=\left[\begin{matrix} 0.63439328416365 \\ -0.77301045336274 \end{matrix}\right]

Teraz już spokojnie mogę obliczyć wektor ast(t=3/4 [s]) mnożąc wektor T przez skalar ast(t=3/4 [s]):

Równanie [10] [10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{a}_{st}\left(t=\frac{3}{4}[s]\right)=a_{st}\cdot\vec{T}=-9.193920464282291\cdot\left[\begin{matrix} 0.63439328416365 \\ -0.77301045336274 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} -5.832561397675391 \\ 7.106996626275798 \end{matrix} \right]

Wektor przyspieszenia a(t=3/4 [s]) będzie potrzebny aby wyznaczyć wektor przyspieszenia normalnego an (wzory potrzebne do wyliczenia wypadkowych wektora a zostały wyprowadzone w zadaniu 2):

Równanie [11] [11]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{a}\left(t=\frac{3}{4}[s]\right)=\left[\begin{matrix} -16.7225194576657 \\ -1.830160986571871 \end{matrix}\right]

Przyspieszenie normalne an(t=3/4 [s]) jest więc równe:

Równanie [12] [12]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{a}_{n}\left(t=\frac{3}{4}[s]\right)=\vec{a}\left(t=\frac{3}{4}[s]\right)-\vec{a}_{st}\left(t=\frac{3}{4}[s]\right)=\left[\begin{matrix} -10.88995805999031 \\ -8.937157612847669\end{matrix}\right]

Teraz pragnę pokazać sposób, jak obliczyć wektor przyspieszenia stycznego ast(t) bez liczenia pochodnej funkcji prędkości całkowitej V(t). Wystarczy bowiem obliczyć rzut prostopadły wektora przyspieszenia całkowitego a(t=3/4 [s]) na wektor prędkości v(t=3/4 [s]) korzystając z wzoru [6] z działu Matematyka → Wektory → Iloczyn skalarny w następujący sposób:

Równanie [13] [13]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{a_{st}}(t)= \vec{V}(t)\cdot\frac{\vec{V}(t) \circ \vec{a}(t)}{\vec{V}(t) \circ \vec{V}(t)}=\left[\begin{matrix} -5.832561397675391 \\ 7.106996626275798 \end{matrix}\right]

gdzie za t podstawiono oczywiście 3/4 [s].

Na rysunku 3 można a nawet trzeba zobaczyć jak te nasze wektory będą wyglądały na wykresie. Oczywiście wektory te zostały przeskalowane proporcjonalnie, tak aby mieściły się na wykresie.

Obliczane wektory przyspieszenia stycznego i normalnego
Rys. 3
Graficzna prezentacja wektorów przyspieszenia i prędkości.

Wykres wygenerowany do pliku svg w programie wxMaxima

Wykres edytowany w programie Inskcape

Właściwości wektorów przyspieszenia stycznego ast i normalnego an

Na wstępie muszę napisać o ciekawym przypadku wektora prędkości całkowitej V(t), dla której nie jest możliwe wyznaczenie za pomocą wzorów [2] i [7] wektora przyspieszenia stycznego ast. Gdy wektor prędkości całkowitej V(t) dla danego t jest wektorem zerowym to przyspieszenie styczne ast(t) jest równe przyspieszeniu całkowitemu a(t) a co za tym idzie przyspieszenie normalne an jest wtedy równe zero. Co ciekawe, w takim momencie t przyspieszenie całkowite a(t) uzyskuje maksimum globalne lub maksimum lokalne.

Rozważmy teraz przypadek, gdy wektor przyspieszenia stycznego ast(t) jest wektorem zerowym. W takim przypadku wektor przyspieszenia normalnego an(t) przyjmuje wartość maksimum globalnego lub maksimum lokalnego.

Przyspieszenie styczne ast(t) - jest to przyspieszenie jakie działa w danym momencie t na punkt materialny w układzie lokalnym związanym z funkcją trajektorii ruchu s(t). Nie ulega więc wątpliwości fakt, że gdy wartość przyspieszenia stycznego ast(t)>0 to nasz punkt przyspiesza po krzywej funkcji s(t), gdy przyspieszenie styczne ast=0 prędkość punktu V(t)=const (jest stała) no i ostatni przypadek, gdy przyspieszenie styczne ast<0 wtedy prędkość maleje.

Przyspieszenie normalne an - jest to przyspieszenie, które określa kierunek zakrzywienia trajektorii lotu. Gdy więc wartość przyspieszenia normalnego an=0, to albo funkcja s(t) zmienia kierunek zakrzywienia toru ruchu albo funkcja ta nie jest zakrzywiona.

Zadania

Zadanie 1

Most o rozpiętości L=200 [m] wznosi się na wysokość h=10[m]. Sprawdzić, czy Fiat 126p jest w stanie rozpędzić się do takiej prędkości, pod wpływem której oderwie się on od powierzchni mostu, widząc że łuk mostu opisuje funkcja kwadratowa.

Lokalny układ wektorów podstawowych Frenata
Rys. 4
Funkcja mostu oraz szukana prędkość Vmax, po przekroczeniu której nasz wehikuł czasu oderwie się od powierzchni mostu.

Dla funkcji mostu y=a·x2 trzeba wyznaczyć współczynnik a, co też z najdzikszą rozkoszą czynię wiedząc, że dla x=100 [m], f(x=100)=-10 [m]. W związku z czym parametr a=-0,001. Z tego wynika niezbicie, że nasza funkcja opisująca trajektorię ruchu ma następującą postać:

Równanie [14] [14]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

y=-0.001\cdot x^2

Pomyślmy przez chwilę logicznie i zastanówmy się, jakie warunki muszą zaistnieć, aby nasz Fiat 126p oderwał się od ziemi? Odpowiedź brzmi: przyspieszenie normalne an, które jest też miarą przyspieszenia odśrodkowego o przeciwnym zwrocie musi być większe od przyspieszenia ziemskiego g.

Dla x=0 [m] (strzałka ugięcia) trzeba obliczyć przyspieszenie normalne an(x=0 [m]) korzystając w tym celu z wzoru [3], w liczniku którego znajduje się szukana prędkość Vmax. W mianowniku z kolei znajduje się promień krzywizny funkcji, który obliczymy korzystając z wzorów [5] i [2] z strony Fizyka → Kinematyka → Krzywizna i promień funkcji.

Obliczmy najpierw krzywiznę κ funkcji y=0,001·x2 z wzoru [2]:

Równanie [15] [15]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\kappa(x=0)=\frac{\left[y(x=0) ''\right]}{\left(1+\left[y(x=0)'\right]^2\right)^\frac{3}{2}}=-0,002

Teraz zgodnie z wzorem [5] z strony Fizyka → Kinematyka → Krzywizna i promień funkcji obliczyć należy promień δ funkcji y(x=0):

Równanie [16] [16]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\delta(x=0)=\left|\frac{1}{\kappa}\right|=500 [m]

Zgodnie z wzorem [3] wartość przyspieszenia normalnego an(x=0) jest równa:

Równanie [17] [17]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a_n(x=0)=\frac{V_{max}^2}{\delta}=\frac{V_{max}^2}{500}

Gdy przyspieszenie styczne an jest równe g to samochód oderwie się od ziemi, dlatego też szukamy takiego Vmax, dla którego spełniona jest nierówność:

Równanie [18] [18]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_{max}>\sqrt{g\cdot\delta} \approx 70,0237 \left[\frac{m}{s}\right]\approx 252 \left[\frac{km}{h}\right]

Wniosek jest jeden, Fiat 126p nie jest w stanie oderwać się od ziemi, no chyba że ktoś zamontuje na jego dachu silnik odrzutowy.

Zadanie 2

Obliczyć dla zadania 6 z strony Fizyka → Kinematyka → Funkcje zależności przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia w różnych układach odniesienia przyspieszenie styczne ast i normalne an.

W trakcie rozwiązywania zadania 6 doszliśmy do niezbitych wniosków, że:

  1. ruch odbywa się w układzie współrzędnych walcowych;
  2. składowa z wektora przyspieszenia jest równa zero;
  3. promień r jest równy parametrowi a funkcji trajektorii ruchu

Udowodnić można również, że wartość wektora prędkości jest stała i wynosi:

Równanie [19] [19]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left|\vec{V}(t)\right|=\sqrt{\left[-2\cdot a\cdot\pi\cdot\sin(2\cdot\pi\cdot t)\right]^2+\left[2\cdot a\cdot\pi\cdot\cos(2\cdot\pi\cdot t)\right]^2+p^2}=\sqrt{4\cdot a^2\cdot\pi^2+p^2}

Ponieważ wartość wektora prędkości V(t) jest stała (co wynika z równania [19]), więc przyspieszenie styczne ast jest równe zero.

Mówiłem już wcześniej, że gdy wektor przyspieszenie stycznego ast(t) jest wektorem zerowym to wektor przyspieszenia normalnego an(t) jest równy wektorowi przyspieszenia całkowitego a(t). Z tego wniosek, że nasz wektor przyspieszenia opisuje następujące równanie:

Równanie [20] [20]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{a}(t)=vec{a}_n(t)=-4\cdot a\cdot\pi^2\cdot\cos(2\cdot\pi\cdot t)\cdot\vec{i}-4\cdot a\cdot\pi^2\cdot\sin(2\cdot\pi\cdot t)\cdot\vec{j}+0\cdot \vec{k}

Na koniec tego zadania, wyznaczę wartość wektora przyspieszenia normalnego an, tylko po to, by udowodnić, że jest to wektor o stałej wartości, lecz o zmiennym kierunku:

Równanie [21] [21]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left|\vec{a}(t)\right|=\left|\vec{a}_n(t)\right|=\sqrt{\left[-4\cdot a\cdot\pi^2\cdot\cos(2\cdot\pi\cdot t)\right]^2+\left[-4\cdot a\cdot\pi^2\cdot\sin(2\cdot\pi\cdot t)\right]^2}=4\cdot a\cdot\pi^2

Zadanie 3

Pociąg wyrusza ze stacji kolejowej jadąc po łuku o promieniu 4 [km]. Dane jest równanie drogi po czasie s(t):

Równanie [22] [22]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

s(t)=\frac{2}{3}\cdot 10^{-4}\cdot t^3

Obliczyć przyspieszenie styczne ast i normalne an pociągu w chwili, gdy ten osiągnie prędkość V(t)=180 [km/h].

Koniecznie trzeba wyznaczyć wzór na prędkość chwilową po czasie, a będzie on przyjmował następującą postać (pochodna drogi po czasie):

Równanie [23] [23]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V(t)=\frac{2}{3}\cdot 10^{-4}\cdot 3\cdot t^2=2\cdot 10^{-4}\cdot t^2

Ponieważ V(t)=180 [km/h] a szukane jest t, równanie [23] przekształcam do następującej postaci:

Równanie [24] [24]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

t=\sqrt{\frac{V(t)}{2\cdot 10^{-4}}}=\sqrt{\frac{180\cdot 3.6^{-1}}{2\cdot 10^{-4}}} [s] = 500 [s]

Druga pochodna równania drogi po czasie s(t) jest niczym innym jak wzorem na przyspieszenie styczne ast(t), a więc dla wyliczonego czasu t=500 [s] liczymy wartość drugiej pochodnej drogi po czasie:

Równanie [25] [25]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a_{st}(t)=4\cdot 10^{-4}\cdot t \Rightarrow a_st(t=500[s])=0,2 \left[\frac{m}{s^2}\right]

Przyspieszenie normalne w tym przypadku jest obliczyć bardzo prosto, albowiem wystarczy podstawić do wzoru [3] wartość prędkości V=180 [km/h] = 50 [m/s] i za promień δ=4 [km] = 4000 [m], by uzyskać upragnioną wartość przyspieszenia normalnego an, co też i z najdzikszą rozkoszą czynię:

Równanie [26] [26]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a_n\left(t=500[s]\right)=\frac{V\left(t=500[s]\right)^2}{\delta}=\frac{50^2}{4000}\left[\frac{m}{s^2}\right]=\frac{5}{8}\left[\frac{m}{s^2}\right]

Komentarze