Funkcje zależności położenia w różnych układach odniesienia

Stronę tą wyświetlono już: 490 razy

Istnieją takie przypadki ruchu, które wymuszają określone położenie obiektu np. w kierunku osi y w zależności od położenia obiektu w kierunku osi x. Mowa jest więc tutaj o funkcji y=f(x), która będzie w określony sposób uzależniała położenie obiektu na osi y od położenia na osi x.

Te same zależności można spokojnie wykorzystać również w układach trójwymiarowych tworząc funkcje y=f(x) oraz z=g(x) jak również w układach współrzędnych biegunowych, walcowych a nawet jak ktoś będzie miał taką potrzebę w układach sferycznych.

Zadanie 1

Sanie pociągowe suportu poprzecznego tokarki zostały sprzężone z liniałem sinusoidalnym, którego kąt względem osi x znajdującej się w osi obrotu wrzeciona tokarki wynosi . Wychylenie noża tokarskiego w pozycji początkowej x0=0 jest równe 20[mm]. Znajdź funkcję odchylenia końcówki narzędzia w zależności jego położenia na osi x względem punktu x0.

Dla lepszego zrozumienia, tokarka jest to obrabiarka umożliwiająca wykonywanie przedmiotów o określonych kształtach obrotowych. Na poglądowym rysunku 1 widać sposób w jaki tokarka za pomocą liniału sinusoidalnego może toczyć powierzchnie stożkowe.

Poglądowy rysunek tokarki z liniałem sinusoidalnym.
Rys. 1
Poglądowy rysunek tokarki z liniałem sinusoidalnym.

Wydaje się być oczywistym, że mamy tutaj do czynienia z funkcją liniową postaci y=a·x+b, parametr a jest równy:

Z kolei współczynnik b można w łatwy sposób obliczyć wiedząc, że dla x0=0 funkcja f(x)=20[mm], a więc b jest dane następującą zależnością:

Ostatecznie więc szukana przez nas funkcja ma następującą postać:

Zadanie 2:

Skok śruby pociągowej uniwersalnej tokarki TUG-48 wynosi p=12[mm], wyznaczyć funkcję położenia suportu poprzecznego tokarki w zależności od ilości obrotów wykonanych śrubą pociągową licząc od pozycji x0=0 i φ0 = 0°.

Skok gwintu śruby pociągowej p jest to odległość o jaką suport wzdłużny tokarki przesunie się, gdy śruba pociągowa wykona jeden pełny obrót (czyli obróci się o 360°).

Z powyższego wynika, że szukana funkcja x(φ) będzie przyjmowała następującą postać:

Wzór [4] jest wzorem operującym nie na układzie współrzędnych kartezjańskich, ale na układzie współrzędnych walcowych, gdzie x jest zależny od kąta φ.

Zadanie 3

Wyznaczyć funkcję położenia punktów A i B okręgu toczącego się bez poślizgu po płaskiej płaszczyźnie w układzie kartezjańskim z rysunku 2 w zależności od promienia R tegoż okręgu i kąta jego obrotu φ, którego początkowa wartość φ0=0.

Ilustracja do zadania.
Rys. 2
Ilustracja do zadania.

Trzeba odkopać z czeluści zapomnienia stary dobry wzór na długość łuku w zależności od jego kąta, albowiem tak dziwnie się składa, że w tenże jakże przebiegły sposób można obliczyć przemieszczenie środka okręgu (a więc punktu A) względem osi x. Tak więc wzór ten wygląda następująco:

W wzorze [5] kąt φ jest wyrażony w radianach. Jak już wspomniałem wcześniej funkcje określające współrzędne punktu A w zależności od promienia R oraz obrotu o kąt φ przyjmują więc następującą postać:

Przemieszczenie punktu B będzie złożeniem funkcji przemieszczenia środka okręgu (którym jest oczywiście punkt A) oraz przemieszczenia punktu B względem punktu A. Funkcje opisujące przemieszczenie punktu A są już znane, bo przecież chodzi tutaj o wzory [6] i [8] pozostało jedynie wyprowadzić wzór na przemieszczenie punktu B względem punktu A przy pomocy funkcji trygonometrycznych:

Ostatecznie więc:

Jeżeli Twoją głowę zaprząta pytanie, jak będzie wyglądał wykres takiej funkcji w zależności od kąta obrotu okręgu φ, to czym prędzej przestań się zamartwiać, albowiem poniżej jest wykres pokazujący trajektorię przemieszczenia punktu B.

Wykres funkcji położenia punktu dla wartości <b>φ</b> z przedziału od <b>0</b> do <b>8·π</b>. (Współczynniki 0,15 i 0,08 były konieczne aby wektory jako tako mieściły się w obszarze wykresu.)
Rys. 3
Wykres funkcji położenia punktu dla wartości φ z przedziału od 0 do 8·π. (Współczynniki 0,15 i 0,08 były konieczne aby wektory jako tako mieściły się w obszarze wykresu.)

Wykres wygenerowany w programie wxMaxima za pomocą następującego polecenia:

Listing 1
  1. R: 1;
  2. plot2d([parametric, R*(t+sin(t)),R+R*cos(t), [t, 0, 8*%pi], [nticks, 2000]],[x,0,8*%pi],[gnuplot_term, png], [gnuplot_out_file, "C:wykres.png"]
  3. ,[xlabel,"R*(phi+sin(phi))"],[ylabel,"R*(1+cos(phi))"]);

Komentarze