Równanie drogi w zlażności od czasu s(t)

Stronę tą wyświetlono już: 460 razy

Wiemy już, jak tworzyć równania ruchu r(t), prędkości V(t) i przyspieszenia a(t) chwilowego. Znane są nam również metody obliczania przyspieszenia stycznego ast i normalnego an, to czego nie wiemy to jak obliczyć drogę danego punktu po torze jego ruchu r(t).

Ułóżmy takie oto równanie różniczkowe:

Równanie [1] [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{ds}{dt}=\sqrt{\left[r_x(t)'\right]^2+\left[r_y(t)'\right]^2+\left[r_z(t)'\right]^2}

Przekształcając równanie [1] otrzymuje się ogólny wzór na drogę punktu po czasie s(t):

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

s=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left[r_x(t)'\right]^2+\left[r_y(t)'\right]^2+\left[r_z(t)'\right]^2} dt

Ktoś może powiedzieć, cóż w tym takiego trudnego, wystarczy scałkować i ma się wzór na drogę po czasie s(t) i tutaj niestety się mylicie, ponieważ taka całka oblicza drogę uwzględniając kierunek przemieszczenia, przez co dla funkcji okresowych obliczona całka musi zostać podzielona na przedziały, w których wzór na całkowitą drogę będzie inny od otrzymanej wartości całkowej. Wynika to z faktu, że droga s nie uwzględnia w żaden sposób kierunku elementarnego przemieszczenia (zlicza wszystkie wartości bezwzględne przemieszczeń elementarnych).

Zadanie 1

Bazując na treści i rozwiązaniu zadania 2 z strony Fizyka → Kinematyka → Funkcje zależności przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia w różnych układach odniesienia wyznaczyć wzór na drogę s(t) rozpatrywanego punktu B z rysunku 1.

Ilustracja do zadania.
Rys. 1
Ilustracja do zadania.

Pochodne równania ruchu po czasie r(t) zostały już policzone w zadaniu 2 i są one dane następującym równaniem ruch V(t):

Równanie [3] [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{V(t)}=\right(2\cdot\pi\cdot t\cdot\cos(\pi\cdot t^2)\cdot R+2\cdot\pi\cdot t\cdot R\right)\cdot\vec{i}+\left[-2\cdot\pi\cdot t\cdot\sin(\pi\cdot t^2)\cdot R\right]\cdot\vec{j}

Wartość wektora całkowitej prędkości chwilowej jest więc równa:

Równanie [4] [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left|{V(t)\right|=\sqrt{\left[2\cdot\pi\cdot t\cdot\cos(\pi\cdot t^2)\cdot R+2\cdot pi\cdot t\cdot R\right]^2+4\cdot \pi^2\cdot t^2\cdot \sin(\pi\cdot t^2)^2\cdot R^2}}

Lewa strona równania [4] to nic innego jak droga po czasie {{ds}/{dt}}, a więc po przekształceniu pozostaje do policzenia następująca całka:

Równanie [5] [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

s(t)=\int\sqrt{\left[2\cdot\pi\cdot t\cdot\cos(\pi\cdot t^2)\cdot R+2\cdot pi\cdot t\cdot R\right]^2+4\cdot\pi^2\cdot t^2\cdot\sin(\pi\cdot t^2)^2\cdot R^2}

Po scałkowaniu otrzymuje się następujący wzór, który jest prawdziwy dla s(t≤1):

Równanie [6] [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

s(t\leq 1)=4\cdot R\cdot\sin\left(\frac{\pi\cdot t^2}{2}\right)

Dla t mieszczącego się w przedziale sqrt{4*k-2}<=t<=sqrt{4*k-1}, gdzie k in bbN backslash delim{lbrace} {0}{rbrace} wzór na drogę s(t) przyjmuje postać następującą:

Równanie [7] [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\sqrt{4\cdot k-2}\leq t\leq \sqrt{4\cdot k-1})=4\cdot R\cdot \left[4\cdot k-2-\sin\left(\frac{\pi\cdot t^2}{2}\right)\right]

Dla t mieszczącego się w przedziale sqrt{4*k-5}<=t<=sqrt{4*k-3}, gdzie k in bbN backslash delim{lbrace} {0; 1}{rbrace} wzór na drogę s(t) przyjmuje postać następującą:

Równanie [8] [8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

s\left(\sqrt{4\cdot k-5}\leq t \leq \sqrt{4\cdot k-3}\right)=4\cdot R\cdot \left[4\cdot k-4-\sin\left(\frac{\pi\cdot t^2}{2}\right)\right]

Wykres funkcji s(t) dla R=1 i t<=3 można zobaczyć na poniższym rysunku.

wykres drogi po czasie punktu poruszającego się po zakrzywionej trajektorii ruchu
Rys. 2
Wykres funkcji s(t) dla R=1 i t<=3

Wykres wygenerowany do pliku svg w programie wxMaxima, za pomocą następującego kodu:

Listing 1
  1. r:1;
  2. s(t):=4*r*sin(%pi*t^2/2);
  3. v(t):=if t <= 1 then s(t) else if t <= sqrt(3) then 8*r-s(t) else if t <= sqrt(5) then 4*4*r+s(t) else if t <= sqrt(7) then 6*4*r-s(t) else if t <= sqrt(9) then 8*4*r+s(t);
  4. plot2d([v(t)],[t,0.01,sqrt(9)],[ylabel,"s(t)"],[gnuplot_term, "svg size 500,400"], [gnuplot_out_file, "C:\droga_po_czasie.svg"]);

Z wykresu pokazanego na rysunku 2 wynika, że dla t=sqrt{k}, gdzie k in bbN droga s(t) może zostać obliczona ze wzoru:

Równanie [9] [9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

s\left(t=\sqrt{k}\right)=4\cdot R\cdot k

Cóż to oznacza zapytacie? Otóż oznacza to tylko tyle, że gdy okrąg z rysunku 1 obróci się o kąt φ=π to punkt B pokona drogę po łuku danym wcześniej już liczonymi funkcjami parametrycznymi jego położenia od czasu równą 4·R. Czyli na każde pół obrotu okręgu, punkt B przemierza drogę równą 4·R.

Zadanie 2

Wyznaczyć równanie drogi w zależności od czasu s(t) dla okręgu jak na rysunku 3 obracającego się wokół osi z prędkością kątową ω=2·π, którego promień R jest znany.

Ilustracja do zadania.
Rys. 3
Ilustracja do zadania.

Najpierw wyznaczyć należy równanie zależności kąta od czasu φ(t) licząc całkę z prędkości kątowej:

Równanie [10] [10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\varphi(t)=\int{\omega dt}=\int{2\cdot\pi dt}=2\cdot\pi\cdot t

Równania parametryczne położenia w zależności od czasu:

Równanie [11] [11]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x(t)=R\cdot\sin\right[\varphi(t)\right]=R\cdot\sin\left(2\cdot\pi\cdot t\right)

Równanie [12] [12]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

y(t)=R\cdot\cos\left[\varphi(t)\right]=R\cdot\cos\left(2\cdot\pi\cdot t\right)

Pochodne parametrycznych funkcji położenia po czasie:

Równanie [13] [13]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x(t)'=2\cdot\pi\cdot R\cdot\cos\left(2\cdot\pi\cdot t\right)

Równanie [14] [14]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

y(t)'=-2\cdot\pi\cdot R\cdot\sin\left(2\cdot\pi\cdot t\right)

Równanie drogi w zależności od czasu s(t):

Równanie [15] [15]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

s(t)=\int\sqrt{\left[2\cdot\pi\cdot R\cdot\cos\left(2\cdot\pi\cdot t\right)\right]^2+\left[-2\cdot\pi\cdot R\cdot\sin\left(2\cdot\pi\cdot t\right)\right]^2} dt=2\cdot\pi\cdot R\cdot t

Komentarze