Całkowanie przez części

Stronę tą wyświetlono już: 483 razy

Całkowanie przez części jest kolejną metodą całkowania funkcji. Wzór ogólny tej metody całkowania ma następującą postać:

Równanie [1] [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\int u(x)\cdot v'(x)\, dx=u(x)\cdot v'(x)-\int u'(x)\cdot v(x)\,dx

Równanie [1] można udowodnić w następujący sposób:

left[u(x)cdot v(x)-int u'(x)cdot v(x),dx
ight]'=u'(x)cdot v(x)+u(x)cdot v'(x)-u'(x)cdot v(x)=u(x)cdot v'(x)

Całkując przez części używa się następującego zapisu:

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\int f(x)\cdot g(x)\,dx\begin{vmatrix} u=f(x)\\ u'=f'(x)\\ v'=g(x)\\ v=\int g(x)\, dx\end{vmatrix}=f(x)\cdot \int g(x)\,dx-\int f'(x)\cdot \left[\int g(x)\,dx\right]\,dx

Zadanie 1 Obliczyć całkę z następującej funkcji:

f(x)=xcdot sin x

Rozwiązanie:

int xcdot sin x,dxbegin{vmatrix} u=x\ u'=1\ v'=sin x\ v=int sin x=-cos x end{vmatrix}=xcdot left(-cos xright)-int 1cdot left(-cos xright),dx=-xcdot cos x+sin x+c

Zadanie 2 Obliczyć całkę z następującej funkcji:

f(x)=sin^2x

Rozwiązanie:

int sin^2x,dx=int sin xcdot sin x,dxbegin{vmatrix}u=sin x\ u'=cos x\ v'=sin x\ v=intsin x,dx=-cos xend{vmatrix}=sin xcdot left(-cos xright)+int cos^2x,dx=-sin xcdot cos x+intleft(1-sin^2 xright), dx=-sin xcdot cos x+x-int sin^2x,dx

Przyrównując pierwszy człon powyższego równania i przyrównując go do ostatniego otrzymuje się następującą równość:

intsin^2x,dx=-sin xcdot cos x+x-int sin^2x,dx

po odpowiednim przekształceni otrzymuje się upragnioną całkę funkcji sin2x:

intsin^2x,dx=frac{1}{2}cdotleft(x-sin xcdot cos x
ight)

Komentarze