Obliczanie całek funkcji niewymiernych

Stronę tą wyświetlono już: 785 razy

Zadanie 1 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=sqrt{2cdot x+1}

Rozwiązanie:

intsqrt{x+1},dxbegin{vmatrix}
t=2cdot x+1
dt=2,dxRightarrow dx=frac{dt}{2}
end{vmatrix}=frac{1}{2}cdotintsqrt{t},dt=frac{1}{3}cdotsqrt{left(2cdot x+1
ight)^3}+c

Zadanie 2 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{1}{sqrt{2cdot x+1}}

Rozwiązanie:

intfrac{1}{sqrt{2cdot x+1}},dxegin{vmatrix}
t=2cdot x+1
dt=2,dxRightarrow dx=frac{dt}{2}
end{vmatrix}=frac{1}{2}cdotintfrac{1}{sqrt{t}},dt=sqrt{t}=sqrt{2cdot x+1}+c

Zadanie 3 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{1}{1+sqrt{x+1}}

Rozwiązanie:

intfrac{1}{1+sqrt{x+1}}egin{vmatrix}
t^2=x+1
2cdot t,dt=dx
end{vmatrix}=intfrac{2cdot t}{1+sqrt{t^2}},dt=2cdotintfrac{t+1-1}{1+t},dt=2cdotint,dt-2cdotintfrac{1}{1+t},dt=2cdot t-2cdotln|1+t|=2cdot sqrt{x+1}-2cdotlnleft|1+sqrt{x+1}
ight|+c

Zadanie 4 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{2cdot x+1}{sqrt{x^2+x+1}}

Rozwiązanie:

W tym przypadku pochodna wyrażenia podpierwiastkowego jest równa wartości mianownika, więc aż się prosi aby użyć podstawienia t=x2+x+1.

intfrac{2cdot x+1}{sqrt{x^2+x+1}},dxegin{vmatrix}
t=x^2+x+1
dt=left(2cdot x+1
ight),dxRightarrow dx=cfrac{dt}{2cdot x+1}
end{vmatrix}=intfrac{2cdot x+1}{sqrt{t}}cdotfrac{dt}{2cdot x+1}=2cdotsqrt{t}=2cdotsqrt{x^2+x+1}+c

Zadanie 5 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{2cdot x+1}{1+sqrt{x^2+x+1}}

Rozwiązanie:

Ten przypadek jest podobny do przypadku z zadania 4, jednakże zastosować warto tutaj podstawienie typu t2=x2+x+1.

intfrac{2cdot x+1}{1+sqrt{x^2+x+1}},dxegin{vmatrix}
t^2=x^2+x+1
2cdot t,dt=left(2cdot x+1
ight),dxRightarrow dx=cfrac{2cdot t}{2cdot x+1},dt
end{vmatrix}=intfrac{2cdot x+1}{1+sqrt{t^2}}cdotfrac{2cdot t}{2cdot x+1},dt=2cdotintfrac{t}{1+t},dt=2cdotintfrac{t+1-1}{1+t},dt=2cdotint,dt-2cdotintfrac{dt}{1+t}=2cdot t-2cdotln|1+t|=2cdotsqrt{x^2+x+1}-2cdotlnleft|1+sqrt{x^2+x+1}
ight|+c

Zadanie 6 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=xcdotsqrt{x+1}

Rozwiązanie:

int xcdotsqrt{x+1},dxegin{vmatrix}
t^2=x+1
2cdot t,dt=dx
end{vmatrix}=int left(x+1-1
ight)cdotsqrt{t^2}cdot 2cdot t,dt=2cdotintleft(t^2-1
ight)cdot t^2,dt=2cdotint t^4,dt-2cdotint t^2,dt=frac{2}{5}cdot t^5-frac{2}{3}cdot t^3=frac{2}{5}cdotleft(x+1
ight)^2cdotsqrt{x+1}-frac{2}{3}cdotleft(x+1
ight)cdotsqrt{x+1}+c

Zadanie 7 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{1}{xcdotsqrt{x+1}}

Rozwiązanie:

int frac{1}{xcdotsqrt{x+1}},dxegin{vmatrix}
t^2=x+1
2cdot t,dt=dx
end{vmatrix}=int frac{2cdot t}{(x+1-1)cdotsqrt{t^2}},dt=intfrac{2}{t^2-1},dt=intfrac{A}{t-1},dt+intfrac{B}{t+1},dt

Parametry A, B muszą spełniać równość:

Acdot t+A+Bcdot t-B=2

z której można ułożyć układ dwóch równań:

egin{cases}
Acdot t+Bcdot t=0   
A-B=2
end{cases}Rightarrow egin{cases}
A=1   
B=-1
end{cases}

Podstawienie i obliczenie:

intfrac{1}{t-1},dt-intfrac{1}{t+1},dt=ln|t-1|-ln|t+1|=lnleft|frac{t-1}{t+1}
ight|=lnleft|frac{t-1}{t+1}
ight|=lnleft|frac{sqrt{x+1}-1}{sqrt{x+1}+1}
ight|+c

Zadanie 8 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{x}{sqrt{x+1}}

Rozwiązanie:

intfrac{x}{sqrt{x+1}},dxegin{vmatrix}
t^2=x+1
2cdot t,dt=dx
end{vmatrix}=intfrac{x+1-1}{sqrt{t^2}}cdot 2cdot t,dt=2cdotint left(t^2-1
ight),dt=frac{2}{3}cdot t^3-2cdot t=frac{2}{3}cdot left(x+1
ight)cdotsqrt{x+1}-2cdotsqrt{x+1}+c

Zadanie 9 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{sqrt{x}}{sqrt{x}+sqrt[4]{x}}

Rozwiązanie:

intfrac{sqrt{x}}{sqrt{x}+sqrt[4]{x}},dxegin{vmatrix}
x=t^4
dx=4cdot t^3,dt
end{vmatrix}=intfrac{sqrt{t^4}}{sqrt{t^4}+sqrt[4]{t^4}}cdot 4cdot t^3,dt=4cdotintfrac{t^5}{t^2+t},dt=4cdotintfrac{t^4}{t+1},dt=4cdotintfrac{t^4+1-1}{t+1},dt=4cdotintfrac{t^4+1}{t+1},dt-4cdotintfrac{1}{t+1},dt=4cdotintleft(t^3-t^2+t-1+frac{2}{t+1}
ight),dt-4cdotintfrac{1}{t+1},dt=4cdotleft(frac{1}{4}cdot t^4-frac{1}{3}cdot t^3+frac{1}{2}cdot t^2-t+2ln|t+1|
ight)-4cdotln|t+1|=t^4-1frac{1}{3}cdot t^3+2cdot t^2-4cdot t+8cdotln|t+1|-4cdotln|t+1|=x-1frac{1}{3}cdot sqrt[3]{x^4}+2cdotsqrt{x}-4cdotsqrt[4]{x}+lnleft|frac{left(sqrt[4]{x}+1
ight)^8}{left(sqrt[4]{x}+1
ight)^4}
ight|+c=x-1frac{1}{3}cdot sqrt[3]{x^4}+2cdotsqrt{x}-4cdotsqrt[4]{x}+lnleft|left(sqrt[4]{x}+1
ight)^4
ight|+c

Zadanie 10 Obliczyć całkę z funckji:

f(x)=frac{1}{sqrt{2-x^2}}

Rozwiązanie:

intfrac{1}{sqrt{2-x^2}},dxegin{vmatrix}
x=tcdotsqrt{2}
dx=sqrt{2},dt
end{vmatrix}=intfrac{1}{sqrt{2-2cdot t^2}}cdot sqrt{2},dt=intfrac{sqrt{2}}{sqrt{2}cdotsqrt{1-t^2}},dt=intfrac{1}{sqrt{1-t^2}},dt=arcsin t=arcsin frac{x}{sqrt{2}}+c

Zadanie 11 Obliczyć całkę z funckji:

f(x)=sqrt{frac{x-1}{x+1}}

Rozwiązanie:

intsqrt{frac{x-1}{x+1}},dxegin{vmatrix}
sqrt{frac{x-1}{x+1}}=tRightarrow t^2=frac{x-1}{x+1}=frac{x+1-2}{x+1}=1-frac{2}{x+1}Rightarrow t^2-1=frac{-2}{x+1}Rightarrow frac{-2}{t^2-1}-1=xRightarrow x=frac{t^2+1}{1-t^2}
dx=frac{2cdot tcdotleft(1-t^2
ight)+2cdot tcdotleft(t^2+1
ight)}{left(1-t^2
ight)^2},dt=frac{4cdot t}{left(1-t^2
ight)^2},dt
end{vmatrix}=int tcdotfrac{4cdot t}{left(1-t^2
ight)^2},dt=intleft(frac{2cdot t}{t^2-1}
ight)^2,dt=intleft(frac{1}{t+1}+frac{1}{t-1}
ight)^2,dt=intleft(frac{1}{left(t+1
ight)^2}+frac{2}{t^2-1}+frac{1}{left( t-1
ight)^2}
ight),dt=intleft(frac{1}{left(t+1
ight)^2}+frac{1}{t-1}-frac{1}{t+1}+frac{1}{left( t-1
ight)^2}
ight),dt=-frac{1}{t+1}+ln|t-1|-ln|t+1|-frac{1}{t-1}=frac{-2cdot t}{t^2-1}+lnleft|frac{t-1}{t+1}
ight|=frac{-2cdotsqrt{frac{x-1}{x+1}}}{frac{x-1}{x+1}-1}+lnleft|frac{sqrt{frac{x-1}{x+1}}-1}{sqrt{frac{x-1}{x+1}}+1}
ight|+c=left(x+1
ight)cdotsqrt{frac{x-1}{x+1}}+lnleft|x-left(x+1
ight)cdotsqrt{frac{x-1}{x+1}}
ight|+c

Zadanie 12 Obliczyć całkę z funckji:

f(x)=frac{1}{sqrt{-x^2-6cdot x+8}}

Rozwiązanie:

intfrac{1}{sqrt{-x^2-6cdot x+8}},dx=intfrac{1}{sqrt{-left(x+3
ight)^2+17}},dxegin{vmatrix}
t=x+3
dt=dx
end{vmatrix}=intfrac{1}{sqrt{17-t^2}},dtegin{vmatrix}
t=t_2cdotsqrt{17}
dt=sqrt{17},dt
end{vmatrix}=intfrac{1}{sqrt{17-17cdot {t_2}^{2}}}cdot sqrt{17},dt_2=intfrac{sqrt{17}}{sqrt{17}cdotsqrt{1-{t_2}^2}},dt_2=intfrac{1}{sqrt{1-{t_2}^2}},dt_2=arcsin t_2=arcsin frac{t}{sqrt{17}}=arcsinfrac{x+3}{sqrt{17}}+c

Zadanie 13 Obliczyć całkę z funckji:

f(x)=frac{1}{sqrt{x^2+1}}

Rozwiązanie:

intfrac{1}{sqrt{x^2+1}},dxegin{vmatrix}
t=x+sqrt{x^2+1}
dt=1+frac{1}{2}cdotfrac{1}{sqrt{x^2+1}}cdot2cdot x,dx
dt=1+frac{x}{sqrt{x^2+1}},dx
dt=frac{sqrt{x^2+1}+x}{sqrt{x^2+1}},dx
dt=frac{t}{sqrt{x^2+1}},dx
frac{dt}{t}=frac{dx}{sqrt{x^2+1}}
end{vmatrix}=intfrac{dt}{t}=ln|t|=lnleft|x+sqrt{x^2+1}
ight|+c

Zadanie 14 Obliczyć całkę z funckji:

f(x)=sqrt{x^2+1}

Rozwiązanie:

intsqrt{x^2+1},dx=intfrac{x^2+1}{sqrt{x^2+1}},dx=intfrac{x^2}{sqrt{x^2+1}},dx+intfrac{1}{sqrt{x^2+1}},dx=I_1+I_2

Obliczenie całki I1:

I_1=intfrac{x^2}{sqrt{x^2+1}},dxegin{vmatrix}
u=x
du=dx
dv=frac{x}{sqrt{x^2+1}}
v=intfrac{x}{sqrt{x^2+1}},dxegin{vmatrix}
x^2+1=t
2cdot x,dx=dtRightarrow dx=frac{dt}{2}
end{vmatrix}=intfrac{x}{sqrt{t}}cdotfrac{dt}{2cdot x}=frac{1}{2}cdotintfrac{dt}{sqrt{t}}=sqrt{t}=sqrt{x^2+1}
end{vmatrix}=xcdotsqrt{x^2+1}-intsqrt{x^2+1},dx

Całka I2 wyliczona została już w zadaniu 13:

I_2=intfrac{1}{sqrt{x^2+1}},dx=lnleft|x+sqrt{x^2+1}
ight|

Równanie sumy całek I1, I2:

intsqrt{x^2+1},dx=xcdotsqrt{x^2+1}-intsqrt{x^2+1},dx+lnleft|x+sqrt{x^2+1}
ight|Rightarrow intsqrt{x^2+1},dx=frac{1}{2}cdot xcdotsqrt{x^2+1}+frac{1}{2}cdotlnleft|x+sqrt{x^2+1}
ight|+c

Zadanie 15 Obliczyć całkę z funckji:

f(x)=frac{1}{sqrt{4cdot x^2+6cdot x+5}}

Rozwiązanie:

Tym razem rozwiązanie przez podstawienie gdy współczynnik a funkcji podpierwiastkowej jest większy od zera:

intfrac{1}{sqrt{4cdot x^2+6cdot x+5}},dxegin{vmatrix}
sqrt{4cdot x^2+6cdot x+5}=t+sqrt{4}cdot x
4cdot x^2+6cdot x+5=t^2+4cdot xcdot t+4cdot x^2
6cdot x-4cdot xcdot t=t^2-5
xcdot (6-4cdot t)=t^2-5
x=frac{t^2-5}{6-4cdot t}=frac{t^2-5}{2cdot (3-2cdot t)^2}
dx=frac{1}{2}cdotfrac{2cdot tcdot(3-2cdot t)+2cdot t^2-10}{(3+3cdot t)^2},dt
dx=frac{1}{2}cdotfrac{2cdotleft(3cdot t-2cdot t^2+t^2-5
ight)}{(3-2cdot t)^2},dt
dx=frac{-t^2+3cdot t-5}{(3-2cdot t)^2},dt
sqrt{4cdot x^2+6cdot x+5}=t+2cdotfrac{t^2-5}{2cdot(3-2cdot t)}=frac{3cdot t-2cdot t^2+t^2-5}{3-2cdot t}=frac{-t^2+3cdot t-5}{3-2cdot t}
end{vmatrix}=intfrac{frac{-t^2+3cdot t-5}{(3-2cdot t)^2}}{frac{-t^2+3cdot t-5}{3-2cdot t}},dt=intfrac{3-2cdot t}{(3-2cdot t)^2},dt=intfrac{dt}{3-2cdot t}=-frac{1}{2}cdotintfrac{2,dt}{2cdot t-3}=-frac{1}{2}cdot ln|2cdot t-3|=-frac{1}{2}cdot lnleft|2cdot sqrt{4cdot x^2+6cdot x+5}-4cdot x-3
ight|+c

Zadanie 16 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{1}{sqrt{-x^2+x+4}}

Rozwiązanie:

W tym przypadku funkcji podpierwiastkowej nie można zastosować podstawienia z zadania 15 ponieważ parametr a jest mniejszy od zera, jednakże ponieważ współczynnik c owej funkcji jest większy od zera więc można zastosować następujące podstawienie i rozwiązanie:

intfrac{dx}{sqrt{-x^2+x+4}}egin{vmatrix}
sqrt{-x^2+x+4}=xcdot t+sqrt{4}
-x^2+x+4=(xcdot t+2)^2
-x^2+x+4=x^2cdot t^2+4cdot xcdot t+4
-x+1=xcdot t^2+4cdot t
xcdotleft(1+t^2
ight)=1-4cdot t
x=frac{1-4cdot t}{1+t^2}
dx=frac{-4cdotleft(1+t^2
ight)-(1-4cdot t)cdot 2cdot t}{left(1+t^2
ight)^2},dt
dx=frac{-4-4cdot t^2-2cdot t+8cdot t^2}{left(1+t^2
ight)^2},dt
dx=frac{4cdot t^2-2cdot t-4}{left(1+t^2
ight)^2},dt
sqrt{-x^2+x+4}=xcdot t+2=frac{1-4cdot t}{1+t^2}cdot t+2=frac{t-4cdot t^2+2+2cdot t^2}{1+t^2}=frac{-2cdot t^2+t+2}{1+t^2}
end{vmatrix}=intfrac{frac{4cdot t^2-2cdot t-4}{left(1+t^2
ight)^2},dt}{frac{-2cdot t^2+t+2}{1+t^2}}=-2cdotintfrac{1+t^2}{left(1+t^2
ight)^2},dt=-2cdotintfrac{1}{1+t^2},dt=-2arctan t=-2cdotarctanfrac{sqrt{-x^2+x+4}-2}{x}+c

Zadanie 17 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{1}{sqrt{-x^2+x+4}}

Rozwiązanie:

W tym przypadku funkcję podpierwiastkową można by było rozpisać jak w zadaniu 12 lecz nie da się jej rozwiązać metodami z zadań 15 czy 16. Jednakże jeżeli tylko wyróżnik Δ funkcji podpierwiastkowej jest większy lub równy zero możliwe jest zastosowanie pewnego podstawienia, lecz najpierw sprawdzić należy wartość wyróżnika Δ:

Delta=4^2-4cdot (-1)cdot(-3)=16-12=4>0

Funkcję podpierwiastkową sprowadzić trzeba do postaci iloczynowej wyznaczając w tym celu pierwiastki owej funkcji:

x_1=frac{-b-sqrt{Delta}}{2cdot a}=frac{-4-2}{2cdot(-1)}=3

x_2=frac{-b-sqrt{Delta}}{2cdot a}=frac{-4+2}{2cdot(-1)}=1

Panie i panowie oto postać iloczynowa funkcji podpierwiastkowej:

-x^2+4cdot x-3=-(x-1)cdot (x-3)

Przyjąć należy następującą równość z parametrem t:

-x^2+4cdot x-3=tcdot(x-1)

Powyższą równość spotęgować należy i przekształcić w następujący sposób:

-x^2+4cdot x-3=t^2cdot x^2-2cdot t^2cdot x+t^2Rightarrow -x^2+4cdot x-3=t^2left(x^2-2cdot x+1
ight) Rightarrow t^2=frac{-(x-1)cdot(x-3)}{(x-1)^2}=frac{-x+3}{x-1}=-frac{x-1-2}{x-1}=-frac{x-1}{x-1}-frac{2}{x-1}Rightarrow left(t^2+1
ight)cdot(x-1)=-2Rightarrow x-1=-frac{2}{t^2+1}Rightarrow x=frac{t^2+1}{t^2+1}-frac{2}{t^2+1}=frac{t^2-1}{t^2+1}

Pochodna wyżej wyprowadzonej zależności:

dx=frac{2cdot tcdot left(t^2+1
ight)-left(t^2-1
ight)cdot 2cdot t}{left(t^2+1
ight)^2},dt=frac{2cdot t^2+2cdot t-2cdot t^3+2cdot t}{left(t^2+1
ight)^2},dt=frac{4cdot t}{left(t^2+1
ight)^2},dt

Rozpisać należy podstawienie dla pierwiastka z funkcji kwadratowej z mianownika całkowanej funkcji:

sqrt{-x^2+4cdot x-3}=tcdot(x-1)=tcdotleft(frac{t^2-1}{t^2+1}-1
ight)=frac{t^3-t}{t^2+1}-frac{tcdotleft(t^2+1
ight)}{t^2+1}=frac{t^2-t-t^3-t}{t^2+1}=frac{-2cdot t}{t^2+1}

Podstawienie i rozwiązanie:

intfrac{1}{sqrt{-x^2+x+4}},dx=intfrac{frac{4cdot t}{left(t^2+1
ight)^2},dt}{frac{t^2+1}{2cdot t}}=-frac{1}{2}cdotintfrac{dt}{t}=-frac{1}{2}cdotln|t|=-frac{1}{2}cdotlnleft|sqrt{4cdot x^2+1}-2cdot x
ight|+c

Komentarze