Obliczanie całek funkcji wykładniczych i logarytmicznych

Stronę tą wyświetlono już: 410 razy

Zadanie 1 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=ln x

Rozwiązanie:

intln x,dxegin{vmatrix}
u=ln x
du=frac{1}{x},dx
dv=dx
v=int,dx=x
end{vmatrix}=xcdot ln x-intfrac{1}{x}cdot x,dx=xcdotln x-x+c

Zadanie 2 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{ln^2x}{x}

Rozwiązanie:

intfrac{ln^2x}{x},dxegin{vmatrix}
ln x=t
frac{dx}{x}=dt
end{vmatrix}=int t^2,dt=frac{1}{3}cdot t^3=frac{1}{3}cdot ln^3x+c

Zadanie 3 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{sqrt{2+ln x}}{x}

Rozwiązanie:

intfrac{sqrt{2+ln x}}{x},dxegin{vmatrix}
t=2+ln x
dt=frac{dx}{x}
end{vmatrix}=intsqrt{t},dt=frac{2}{3}cdotsqrt{t^3}=frac{2}{3}cdotsqrt{left(2+ln^2x
ight)^3}+c

Zadanie 4 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{1}{xcdotsqrt{1-ln x}}

Rozwiązanie:

intfrac{dx}{xcdotsqrt{1-ln x}}egin{vmatrix}
ln x=t
frac{dx}{x}=dt
end{vmatrix}=intfrac{dt}{sqrt{1-t^2}}=arcsin t=arcsin ln x+c

Zadanie 5 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{e^frac{1}{x}}{x^2}

Rozwiązanie:

intfrac{e^frac{1}{x}}{x^2},dxegin{vmatrix}
frac{1}{x}=t
-frac{1}{x^2}=dt
end{vmatrix}=-int e^t,dt=-e^t=-e^frac{1}{x}+c

Zadanie 6 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=xcdot e^{-x^2}

Rozwiązanie:

int xcdot e^{-x^2}dxegin{vmatrix}
-x^2+1=t
-2cdot x,dx=dt
dx=-frac{dt}{2cdot x}
end{vmatrix}=-frac{1}{2}cdotint xcdot e^tcdotfrac{dt}{x}=-frac{1}{2}cdot e^t=-frac{1}{2}cdot e^{-x^2}+c

Zadanie 7 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=cos xcdot e^{sin x}

Rozwiązanie:

intcos xcdot e^{sin x},dxegin{vmatrix}
t=sin x
dx=cos x,dx
end{vmatrix}=int e^t,dt=e^t=e^{sin x}+c

Zadanie 8 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{e^x}{2cdot e^x+1}

Rozwiązanie:

intfrac{e^x}{2cdot e^x+1},dx=frac{1}{2}cdotintfrac{2cdot e^x,dx}{2cdot e^x+1}egin{vmatrix}
t=2cdot e^x+1
dt=2cdot e^x,dxRightarrow dx=frac{dt}{2cdot e^x}
end{vmatrix}=2cdotintfrac{2cdot e^x}{t}cdotfrac{dt}{2cdot e^x}=2cdotln|t|=2cdotlnleft|2cdot e^x+1
ight|+c

Komentarze