Obliczanie całek funkcji trygonometrycznych

Stronę tą wyświetlono już: 783 razy

Zadanie 1 Obliczyć całkę z następującej funkcji:

f(x)=sin left(x+1
ight)

Rozwiązanie:

int sin left(x+1
right),dxbegin{vmatrix}
t=x+1 
dt=dx
end{vmatrix}=int sin t,dt=-cos t=-cos,left(x+1
ight)+c

Zadanie 2 Obliczyć całkę z następującej funkcji:

f(x)=xcdot sinleft(x^2+1
ight)

Rozwiązanie:

int xcdot sinleft(x^2+1
ight), dxegin{vmatrix}
t=x^2+1 
dt=2cdot x,dxRightarrow dx=frac{dt}{2cdot x}
end{vmatrix}=int xcdot sin t cdot frac{dt}{2cdot x}=frac{1}{2}int sin t,dt=-frac{1}{2}cdot cos t=-frac{1}{2}cdot cos left(x^2+1
ight)+c

Zadanie 3 Wyprowadzić wzór na całkę z funkcji:

f(x)=sin^nx

Rozwiązanie:

intsin^nx,dxegin{vmatrix} u=sin^{n-1} x  u'=-(n-1)cdotsin^{n-2} xcdot cos x  v'=sin x  v=int sin x,dx=-cos x end{vmatrix}=-sin^{n-1}xcdotcos x+(n-1)cdotint sin^{n-2}xcdot cos^2 x,dx=-sin^{n-1}cdotcos x+(n-1)cdotintsin^{n-2}xcdot left(1-sin^2x
ight),dx=-sin^{n-1}xcdot cos x+(n-1)cdotintsin^{n-2}x,dx-(n-1)cdotintsin^nx,dx

Pozostało jedynie przekształcenie równości składającej się z ostatniego i pierwszego członu powyższego równania:

Wzór [24] jest tak zwanym wzorem rekurencyjnym rozpisywanym do momentu otrzymania całki z sinusa o potędze 1 lub 0.

Zadanie 4 Stosując wzór [1] obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=sin^5x

Rozwiązanie:

intsin^5x,dx=-frac{1}{5}cdot sin^4xcdotcos x+frac{4}{5}cdotint sin^{3}x,dx=-frac{1}{5}cdotsin^4xcdotcos x+frac{4}{5}cdotleft(-frac{1}{3}cdot sin^2xcdotcos x+frac{2}{3}cdotint sin x,dx
ight)=-frac{1}{5}cdotsin^4xcdotcos x-frac{4}{15}cdotsin^2xcdotcos x-frac{8}{15}cdotcos x+c

Zadanie 5 Wyprowadzić wzór na całkę z funkcji:

f(x)=cos^nx

Rozwiązanie:

intcos^nx,dxegin{vmatrix}
u=cos^{n-1} x 
u'=-(n-1)cdotcos^{n-2} xcdot sin x 
v'=cos x 
v=int cos x,dx=sin x
end{vmatrix}=cos^{n-1}xcdotsin x+(n-1)cdotint cos^{n-2}xcdot sin^2 x,dx=cos^{n-1}cdotsin x+(n+1)cdotintcos^{n-2}xcdot left(1-cos^2x
ight),dx=cos^{n-1}xcdot sin x+(n+1)cdotintcos^{n-2}x,dx-(n+1)cdotintcos^nx,dx

Przekształcając pierwszy i ostatni człon powyższego równania tak jak w zadaniu 3 uzyskany zostaje wzór rekurencyjny:

Zadanie 6 Wykorzystując wzór [2] obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=cos^4x

Rozwiązanie:

int cos^4x,dx=frac{1}{4}cdotcos^3xcdotsin x+frac{3}{4}cdotintcos^2x,dx=frac{1}{4}cdot cos^3xcdotsin x+frac{3}{4}cdot left(frac{1}{2}cdotcos xcdotsin x+frac{1}{2}cdotintcos^0x,dx
ight)=frac{1}{4}cdot cos^3xcdotsin x+frac{3}{8}cdot cos xcdotsin x+frac{3}{8}cdot x+c

Zadanie 7 Wyprowadzić wzór na całkę z funkcji:

f(x)=	an x

Rozwiązanie:

int	an x,dx=intfrac{sin x}{cos x},dxegin{vmatrix}
t=cos x 
dt=-sin x,dxRightarrow dx=-frac{dt}{sin x}
end{vmatrix}=-int frac{sin x}{t}cdotfrac{dt}{sin x}=-int frac{dt}{t}=-ln|t|=-ln|cos x|+c

Zadanie 8 Wyprowadzić wzór na całkę z funkcji:

f(x)=	ext{ctg},x

Rozwiązanie:

int	ext{ctg},x,dx=intfrac{cos x}{sin x},dxegin{vmatrix}
t=sin x 
dt=cos x,dxRightarrow dx=frac{dt}{cos x}
end{vmatrix}=int frac{cos x}{t}cdotfrac{dt}{cos x}=intfrac{dt}{t}=ln|t|=ln|sin x|+c

Zadanie 9 Wyprowadzić wzór na całkę z funkcji:

f(x)=	an^nx

Rozwiązanie:

Zadanie 10 Korzystając z wzoru [26] obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=	an^5x

Rozwiązanie:

int	an^5x,dx=frac{1}{4}cdot	an^4x-int	an^3x,dx=frac{1}{4}cdot	an^4x-left(frac{1}{2}cdot	an^2x-int	an x,dx
ight)=frac{1}{4}cdot	an^4x-frac{1}{2}cdot	an^2x-ln|cos x|+c

Zadanie 11 Wyprowadzić wzór na całkę z funkcji:

f(x)=	ext{ctg}^nx

Rozwiązanie:

Zadanie 12 Korzystając z wzoru [27] obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=	ext{ctg}^4x

Rozwiązanie:

int	ext{ctg}^4,dx=-frac{1}{3}cdot 	ext{ctg}^3x-int	ext{ctg}^2x,dx=-frac{1}{3}cdot	ext{ctg}^3x-frac{1}{2}cdot	ext{ctg},x+c

Zadanie 13 Wyprowadzić wzór na całkę z funkcji:

f(x)=frac{1}{sin x}

Rozwiązanie:

Konieczne będzie użycie wzoru [49] z działu Matematyka: Funkcje: Funkcje trygonometryczne.

Zadanie 15 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{cos x}{1-sin x}

Rozwiązanie:

intfrac{cos x}{1-sin x},dxegin{vmatrix}
t=1-sin x 
dt=-cos x,dxRightarrow dx=-cfrac{dt}{cos x}
end{vmatrix}=-intfrac{cos x}{t}cdotfrac{dt}{cos x}=-intfrac{dt}{t}=-ln|1-sin x|+c

Zadanie 16 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{1}{1-sin x}

Rozwiązanie:

intfrac{1}{1-sin x},dx=intfrac{1}{1-sin x}cdotfrac{1+sin x}{1+sin x}, dx=intfrac{1+sin x}{1-sin^2x},dx=intfrac{1+sin x}{cos^2x},dx=intfrac{dx}{cos^2 x}+intfrac{sin x}{cos^2x},dxegin{vmatrix}
t=cos x 
dt=-sin x,dxRightarrow dx=frac{dt}{-sin x}
end{vmatrix}=	an x-intfrac{sin x}{t^2}cdotfrac{dt}{sin x}=	an x+frac{1}{t}=	an x+frac{1}{cos x}+c=frac{sin x+1}{cos x}+c

Zadanie 17 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{sin x}{1-sin x}

Rozwiązanie:

intfrac{sin x}{1-sin x},dx=intfrac{sin x}{1-sin x}cdot frac{1+sin x}{1+sin x},dx=intfrac{sin x}{cos^2x},dx+intfrac{sin^2x}{cos^2{x}},dxegin{vmatrix}
t=cos x 
dt=-sin x,dxRightarrow dx=frac{dt}{-sin x}
end{vmatrix}=intfrac{sin x}{t^2}cdot frac{dt}{sin x},dt+intfrac{1-cos^2x}{cos^2x},dx=-frac{1}{t}+	an x-x=-frac{1}{cos x}+frac{sin x}{cos x}-x+c=frac{sin x-1}{cos x}-x+c

Zadanie 18 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=sin xcdotsin 5cdot x

Rozwiązanie:

Konieczne jest zapoznanie się z wzorem [14] z działu Matematyka: Funkcje: Funkcje trygonometryczne.

intsin xcdotsin (5cdot x),dx=frac{1}{2}cdotintleft[cosleft(x-5cdot x
ight)-cosleft(x+5cdot x
ight) 
ight],dx=frac{1}{2}cdotintcosleft(-4cdot x
ight),dx-frac{1}{2}cdot intcosleft(6cdot x
ight),dxegin{vmatrix}
t_1=-4cdot x & t_2=6cdot x 
dt_1=-4,dxRightarrow dx=frac{dt_1}{-4} &  dt_2=6,dxRightarrow dx=frac{dt_2}{6}
end{vmatrix}=frac{1}{2}cdotintcos t_1cdotfrac{dt_1}{-4}-frac{1}{2}cdotintcos t_2cdotfrac{dt_2}{6}=-frac{1}{8}cdotsin t_1-frac{1}{12}cdotsin t_2=-frac{1}{8}cdot sinleft(-4cdot x
ight)-frac{1}{12}cdotsinleft(6cdot x
ight)+c

Zadanie 19 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=cosleft(2cdot x
ight)cdotcosleft(4cdot x
ight)

Rozwiązanie:

Konieczne jest zapoznanie się z wzorem [13] z działu Matematyka: Funkcje: Funkcje trygonometryczne.

intcosleft(2cdot x
ight)cdotcosleft(4cdot x
ight),dx=frac{1}{2}cdotintleft[cosleft(2cdot x+4cdot x
ight)+cosleft(2cdot x-4cdot x
ight)
ight],dx=frac{1}{2}cdotintcosleft(6cdot x
ight),dx+frac{1}{2}cdotintcosleft(-2cdot x
ight),dxegin{vmatrix}
t_1=6cdot x & t_2=-2cdot x 
dt_1=6,dx & dt_2=-2,dx 
dx=cfrac{dt_1}{6} & dx=cfrac{dt_2}{-2}
end{vmatrix}=frac{1}{2}cdotintcos t_1cdotfrac{dt_1}{6}+frac{1}{2}cdotintcos t_2cdot frac{dt_2}{-2}=
frac{1}{12}cdotsin t_1-frac{1}{4}cdotsin t_2=frac{1}{12}cdotsin left(6cdot x
ight)-frac{1}{4}cdot sinleft(-2cdot x
ight)+c

Zadanie 20 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=sinleft(2cdot x
ight)cdotcos x

Rozwiązanie:

Konieczne jest zapoznanie się z wzorem [15] z działu Matematyka: Funkcje: Funkcje trygonometryczne.

intsinleft(2cdot x
ight)cdotcos x,dx=frac{1}{2}cdotintleft[sinleft(2cdot x+x
ight)+sinleft(2cdot x-x
ight)
ight],dx=frac{1}{2}cdotintsinleft(3cdot x
ight),dx+frac{1}{2}cdotintsin x, dxegin{vmatrix}
t=3cdot x 
dt=3,dxRightarrow dx=frac{dt}{3}
end{vmatrix}=frac{1}{2}cdotintsin tcdotfrac{dt}{3}-frac{1}{2}cdotcos x=-frac{1}{6}cdotcos t-frac{1}{2}cdot cos x=-frac{1}{6}cdotcosleft(3cdot x
ight)-frac{1}{2}cos x
ight]+c

Zadanie 21 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=sin xcdot cos x

Rozwiązanie:

intsin xcdot cos x,dxegin{vmatrix}
t=sin x
dt=cos x,dxRightarrow dx=frac{dt}{cos x}
end{vmatrix}=int tcdotcos xcdotfrac{dt}{cos x}=frac{1}{2}cdot t^2=frac{1}{2}cdotsin^2x+c

Zadanie 22 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{1}{sin xcdot cos x}

Rozwiązanie:

intfrac{1}{sin xcdot cos x},dx=intfrac{sin^2x+cos^2x}{sin xcdotcos x},dx=intfrac{sin x}{cos x},dx+intfrac{cos x}{sin x},dx=int	an x,dx+int	ext{ctg},x,dx=-ln|cos x|+ln|sin x|+c=lnleft|frac{sin x}{cos x}
ight|+c=ln|	an x|+c

Zadanie 23 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{cos x}{sqrt{1+sin x}}

Rozwiązanie:

intfrac{cos x}{sqrt{1+sin x}},dxegin{vmatrix}
t=1+sin x 
dt=cos x,dxRightarrowdx=frac{dt}{cos x}
end{vmatrix}=intfrac{cos x}{sqrt{t}}cdotfrac{dt}{cos x}=intfrac{dt}{sqrt{t}}=2cdot sqrt{t}=2cdot sqrt{1+sin x}+c

Zadanie 24 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=sin^2xcdot cos x

Rozwiązanie:

intsin^2xcdot cos x,dxegin{vmatrix}
t=sin x 
dt=cos x,dxRightarrow dx=frac{dt}{cos x}
end{vmatrix}=int t^2cdot cos xcdotfrac{dt}{cos x}=int t^2,dt=frac{1}{3}cdot t^3=frac{1}{3}cdot sin^3 x+c

Zadanie 25 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{1}{sin^2xcdot cos x}

Rozwiązanie:

intfrac{1}{sin^2xcdot cos x},dx=intfrac{sin^2x+cos^2x}{sin^2xcdot cos x},dx=intfrac{1}{cos x},dx+intfrac{cos x}{sin^2x},dxegin{vmatrix}
t=sin x 
dt=cos x,dxRightarrow dx=frac{dt}{cos x}
end{vmatrix}=frac{1}{2}cdotlnleft|frac{1+sin x}{1-sin x}
ight|+int
 frac{cos x}{t^2}cdotfrac{dt}{cos x}=frac{1}{2}cdotlnleft|frac{1+sin x}{1-sin x}
ight|-frac{1}{t}=frac{1}{2}cdotlnleft|frac{1+sin x}{1-sin x}
ight|-frac{1}{sin x}+c

Rozwiązanie całki z cos-1x zostało zaczerpnięte z zadania 14.

Zadanie 26 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=frac{cos x}{sqrt[3]{sin^2x}}

Rozwiązanie:

intfrac{cos x}{sqrt[3]{sin^2x}},dxegin{vmatrix}
t=sin x
dt=cos x,dxRightarrow dx=frac{dt}{cos x}
end{vmatrix}=intfrac{cos x}{sqrt[3]{t^2}}cdotfrac{dt}{cos x}=intfrac{dt}{sqrt[3]{t^2}}=3cdotsqrt[3]{t}=3cdotsqrt[3]{sin x}+c

Zadanie 27 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=cos xcdot lnleft(sin x
ight)

Rozwiązanie:

intcos xcdot lnleft(sin x
ight),dxegin{vmatrix}
u=lnleft(sin x
ight) 
du=cfrac{dx}{sin x}cdot cos x 
v'=cos x 
v=intcos x,dx=sin x
end{vmatrix}=sin xcdot lnleft(sin x
ight)-intfrac{cos x}{sin x}cdot sin x,dx=sin xcdot lnleft(sin x
ight)-sin x+c

Zadanie 28 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=e^xcdot sin x

Rozwiązanie:

int e^xcdot sin x,dxegin{vmatrix}
u=sin x 
u'=cos x 
v'=e^x 
v=int e^x,dx=e^x
end{vmatrix}=e^xcdot sin x-int e^xcdotcos x,dxegin{vmatrix}
u=cos x 
u'=-sin x 
v'=e^x 
v=int e^x,dx=e^x
end{vmatrix}=e^xcdotsin x-e^xcdotcos x-int e^xcdot sin x,dx

Przekształcić należy równość, którego lewą stroną jest pierwszy człon powyższego równania natomiast prawą stroną jest człon ostatni.

int e^xcdot sin x,dx=e^xcdotsin x-e^xcdotcos x-int e^xcdot sin x,dxRightarrow int e^xcdot sin x,dx=frac{1}{2}cdot e^xcdotleft(sin x-cos x
ight)+c

Zadanie 29 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=arcsin x

Rozwiązanie:

intarcsin x,dxegin{vmatrix}
t=arcsin x 
x=sin t 
dx=cos t,dt
end{vmatrix}=int tcdotcos t,dtegin{vmatrix}
u=t 
u'=1 
v'=cos t
v=int cos t,dt=sin t
end{vmatrix}=tcdot sin t-intsin t,dt=tcdot sin t+cos t=arcsin xcdot sinleft(arcsin x
ight)+cos left(arcsin x
ight)+c=xcdot arcsin x+cos arccos sqrt{1-x^2}+c=xcdotarcsin x+sqrt{1-x^2}+c

Zadanie 30 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=arccos x

Rozwiązanie:

intarccos x,dxegin{vmatrix}
t=arccos x 
x=cos t 
dx=-sin t,dx
end{vmatrix}=-int tcdotsin t,dxegin{vmatrix}
u=t
u'=1
v'=sin t
v=intsin t,dt=-cos t
end{vmatrix}=-tcdotcos t+intcos t,dt=-tcdotcos t+sin t=sin arccos x-arccos xcdot cosarccos x+c=sinarcsinsqrt{1-x^2}-xcdot arccos x+c

Zadanie 31 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=arctan x

Rozwiązanie:

intarctan x,dxegin{vmatrix}
t=arctan x
x=	an x
dx=frac{dt}{cos^2x}
end{vmatrix}=intfrac{t,dt}{cos^2t}egin{vmatrix}
u=t
u'=1
v'=cfrac{1}{cos^2t}
v=intcfrac{1}{cos^2t}=	an t
end{vmatrix}=tcdot	an t-int	an t,dt=tcdot	an t-intfrac{sin t}{cos t},dtegin{vmatrix}
t_2=cos t
dt_2=-sin t,dtRightarrow dt=-frac{dt_2}{sin t}
end{vmatrix}=tcdot 	an t+intfrac{sin t}{t_2}cdotfrac{dt_2}{sin t}=tcdot 	an t+lnleft|t_2
ight|=tcdot	an t+ln|cos t|=arctan xcdot	anarctan x+ln|cosarctan x|+c=xcdot arctan x+ln|cosarctan x|+c

Zadanie 32 Obliczyć całkę z funkcji:

f(x)=	ext{arcctg},x

Rozwiązanie:

int	ext{arcctg},x,dxegin{vmatrix}
t=	ext{arcctg},x
x=	ext{ctg} x
dx=-frac{dt}{sin^2x}
end{vmatrix}=-intfrac{t,dt}{sin^2t}egin{vmatrix}
u=t
u'=1
v'=-cfrac{1}{sin^2t}
v=-intcfrac{1}{sin^2t}=	ext{ctg},t
end{vmatrix}=tcdot	ext{ctg},t-int	ext{ctg},t,dt=tcdot	ext{ctg},t-intfrac{cos t}{sin t},dtegin{vmatrix}
t_2=sin t
dt_2=cos t,dtRightarrow dt=frac{dt_2}{cos t}
end{vmatrix}=tcdot 	ext{ctg},t-intfrac{cos t}{t_2}cdotfrac{dt_2}{cos t}=tcdot	ext{ctg},t-lnleft|t_2
ight|=tcdot	ext{ctg},t-ln|cos t|=	ext{arcctg} xcdot	ext{ctg},	ext{arcctg},x-ln|cos	ext{arcctg},x|+c=xcdot 	ext{arcctg}, x-ln|cos	ext{arcctg},x|+c

Komentarze