Obliczenia układów dynamicznych metodą równoważności energii i pracy

Stronę tą wyświetlono już: 1506 razy

Zadanie 1

Obliczyć przyspieszenie ac krążka toczącego się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie połączonego za pośrednictwem nieważkiego i nierozciągliwego cięgna z krążkiem, do którego przyłożony został moment obrotowy M będący jedynym czynnikiem wywołujący ruch układu.

Rysunek do zadania 1
Rys. 1
Rysunek układu ciał wprawianych w ruch momentem obrotowym M.

Dane:

R[m]; Q[N]; M[Nm]

Rozwiązanie:

Na rysunku 1 zaznaczone zostały jedynie podstawowe informacje, bez oznaczenia wektorów liniowej prędkości chwilowej oraz kątowej, a także założonych przesunięć układu niezbędnymi do ułożenia równania równowagi pracy L i energii E. Innymi słowy trzeba zrobić nowy rysunek z wszystkimi potrzebnymi oznaczeniami.

Rysunek do zadania 1
Rys. 2
Rysunek układu ciał wprawianych w ruch momentem obrotowym M z uzupełnionymi oznaczeniami.

Zgodnie z wzorem [1] z strony Mechanika techniczna: Dynamika: Zasada równowagi pracy i energii oraz zgodnie z opisywanymi tam zasadami, jedynym czynnikiem wykonującym pracę na układzie jest w tym przypadku moment obrotowy M. W związku z czym prawa strona wcześniej wspomnianego już równania [1] przyjmie następującą wartość:

gdzie φ jest zadanym przemieszczeniem spowodowanym przez moment obrotowy M. Jest to wielkość nieznana, która na końcu zredukuje się więc nie ma strachu w naszym fachu.

Z wspomnianym już przed chwilą przemieszczeniem kątowym φ związane są bezwzględnie inne przemieszczenie zaznaczone na rysunku 2 przez x1 i x2. Tak więc, aby mieć to już za sobą zapiszę tutaj zależności przemieszczeń x1, x2 od przemieszczenia kątowego φ.

Przemieszczenie x2 jest równe długości łuku, którego kąt jest równy φ a promień wynosi R, a więc podstawowa szkoła się kłania:

A co z przemieszczeniem liniowym x2? Tutaj chyba nie pójdzie tak łatwo? Ależ pójdzie, pójdzie bo przecież znamy starą dobrą zasadę konstrukcji chwilowego środka obrotu opisaną przeze mnie na stronie Mechanika techniczna: Dynamika: Konstrukcja chwilowego środka obrotu. Nie tracąc już więc czasu i w przebiegły skądinąd sposób wykorzystam w perfidny sposób wcześniej wspomnianą zasadę określając tym samym zależność przemieszczenia liniowego x1 od przemieszczenia liniowego x2 w następujący sposób:

Ponieważ szukam zależności x1 od φ, a nie od x2, więc do równania końcowego [3] muszę podstawić równanie 2 uzyskując tym samym szukaną zależność:

Nadszedł czas aby dorwać się do zależności kinetycznych układu. Ponieważ mam za zadanie wyznaczyć przyspieszenie kątowe ac układu, a jak się na końcu okaże do tego będzie trzeba wyznaczyć chwilową prędkość liniową Vc, więc wszystkie niewiadome związane z ruchem należy uzależnić od Vc. Zacznę więc od zależności prędkości liniowej V od Vc wykorzystując po raz kolejny starą dobrą zasadę konstrukcji chwilowego środka obrotu (tak jak już wcześniej było to robione w tym zadaniu):

Zależność prędkości kątowej ω2 od prędkości Vc:

Kolej na zależność ω1 od x1:

W zależności [7] podstawiłem od razu za V zależność [6] zmniejszając tym samym męczarnie rozpisywanie tej zależności w dwóch częściach.

Dobra, będzie tego, czas zabrać się za prawą stronę równania [1] ze strony Mechanika techniczna: Dynamika: Konstrukcja chwilowego środka obrotu. Czas zapisać energię kinetyczną całego układu.

Energia kinetyczna krążka znajdującego się po lewej stronie rysunku 2 jest równa sumie energii ruchu prostoliniowego oraz energii obrotu względem środka ciężkości. A więc suma tych energii jest równa:

Teraz rozpisać należy wzór na energię kinetyczną obracającego się krążka po prawej stronie rysunku 2 w następujący sposób:

Albowiem powiedzieliśmy już sobie, że energia kinetyczna E wszystkich elementów rozpatrywanego układu musi być równa pracy L na nim wykonanej, więc niezwłocznie takie równanie musi być zapisane:

W uzyskanym powyżej równaniu [10] znajdują się aż cztery niewiadome, a są to proszę Państwa: Vc; ω1; ω2 i φ. Należy z tego wszystkiego wyznaczyć Vc2, przekształcając i podstawiając za ω1 i ω2 rozpisane wcześniej relacje kinetyczne. A φ nie trzeba się przejmować, bo się z nim rozprawimy na końcu.

Ponieważ nie jestem niańką do opieki nad dziećmi więc nie będę rozpisywał całego procesu podstawiania i upraszczania, podając tym samym wzór [10] po podstawieniu, uproszczeniu i przekształceniu:

Koniec zadania jest już bliski, albowiem wystarczy sobie przypomnieć ze szkoły średniej, że siła P jest równa iloczynowi przyspieszenia a i masy m rozpatrywanego ciała, zaś siła P razy przemieszczenie s to nic innego jak praca L, zaś praca musi być równa w tym przypadku energii kinetycznej danego układu.

Tak więc, w przypadku tego zadania praca L samego krążka znajdującego się po lewej stronie rysunku 2 związanego z przemieszczeniem liniowym jest równa energii tegoż przemieszczenia. Czyli:

Do zależności [12] należy za Vc2 podstawić wyrażenie [11] a za x1 zależność [4], uzyskując koniec, końców wzór na upragnioną wartość przyspieszenia ac:

Możliwe, że zauważyliście iż uzyskany wynik dziwnym zbiegiem okoliczności jest taki sam, jak ten, który został uzyskany w zadaniu 1 ze strony Mechanika techniczna: Dynamika: Obliczenie przyspieszeń układów ciał metodą Newtona. Dziwna sprawa, to samo zadanie policzone inną metodą i wyszło to samo? Witamy w świecie nauk ścisłych.

Zadanie 2

Obliczyć przyśpieszenie ac krążka o masie m zawieszonego na nieważkim i nierozciągliwym cięgnie.

Rysunek do zadania 2
Rys. 3
Rysunek układu do zadania.

Dane:

r[m];m[kg]

Rozwiązanie:

Przed przystąpieniem do rozwiązania zadania, uzupełnić należy najpierw oznaczenia na rysunku 3 tak jak to zostało wykonane na rysunku 4.

Rysunek do zadania 2
Rys. 4
Rysunek z naniesionymi dodatkowymi informacjami.

Jak widać, na rysunku 4 naniesione już zostały podstawowe zależności przemieszczeń liniowych w zależności od hc oraz liniowych prędkości w zależności od Vc co ułatwi rozpisanie równania energii kinetycznej E układu:

Po uproszczeniu i uporządkowaniu powyższe równanie przyjmuje następującą postać:

Konieczne jest rozpisanie zależności kinetycznych by w bezwzględny sposób móc pozbyć się z równania [15] niewiadomych ω1, ω2 i ω3 uzależniając je całkowicie od niewiadomej Vc.

Najpierw ω1 od Vc:

a następnie ω2:

Na koniec z zależności kinetycznych została już tylko prędkość kątowa ω3:

Pozostało już podstawić zależności [16], [17] i [18] do równania [15] otrzymując tym samym uproszczony wzór na energię kinetyczną całego układu:

Nadszedł najwyższy czas na wyznaczenie pracy sił czynnych na drodze hc, którymi są oczywiście siły ciężkości ciężarków. Równanie pracy L1-2 przyjmie więc następującą postać:

Zgodnie z zasadą równoważności pracy L i energii E przyrównać należy energię kinetyczną całego układu [19] do pracy na nim wykonanej przez siły czynne [20]:

Po przekształceniu równania [21] uzyskuje się wzór na Vc2:

Pozostało tylko rozpisać równanie, którego lewą stronę będzie stanowił wzór na pracę L podukładu związanego z przyspieszeniem liniowym ac zaś prawą wzór na energię kinetyczną E tegoż podukładu:

Za Vc2 do równania [23] podstawić należy zależność [22] otrzymując tym samym końcowy wzór na przyspieszenie liniowe ac:

Po raz kolejny dziwnym zbiegiem okoliczności wynik jest taki sam, jak ten, który został uzyskany w zadaniu 2 ze strony Mechanika techniczna: Dynamika: Obliczenie przyspieszeń układów ciał metodą Newtona.

Zadanie 3

Obliczyć przyśpieszenie ac krążka o ciężarze 4Q zawieszonego na nieważkim i nierozciągliwym cięgnie.

Rysunek do zadania 3
Rys. 5
Rysunek układu do zadania.

Dane:

r[m];Q[N]

Rozwiązanie:

Tradycyjnie od uzupełnienia rysunku zacząć trzeba.

Rysunek do zadania 3
Rys. 6
Rysunek układu z naniesionymi oznaczeniami dodatkowymi.

Czas napisać równanie energetyczne E rozpatrywanego układu w następujący sposób:

Po uproszczeniu i uporządkowaniu równania [25] otrzymuje się taki oto śliczny wzór:

Ponieważ należy wyznaczyć Vc2 więc w bezwzględny sposób należy pozbyć się niewiadomych V1, V2, ω1; ω2 oraz (jakże by inaczej) ω3 uzależniając te niewiadome od Vc. Tak więc chciał nie chciał trzeba zakasać rękawy i napisać zależności kinetyczne.

Relacja kinetyczna dla ω1:

Relacja kinetyczna dla ω2:

Relacja kinetyczna dla ω3:

Relacja kinetyczna dla V1:

Relacja kinetyczna dla V2:

Pozostało już podstawić do równania [26] zależności od 27 do 31 a otrzymane równanie uprościć uzyskując takową postać jego:

Czas zabrać się za ułożenie równania pracy L czynników wywołujących ruch układu:

Chciał nie chciał, radził, nie radził trza zależności przemieszczeń wyprowadzić. Zależność przemieszczenia h1 od hc:

Zależność przemieszczenia h2 od hc:

Zależność przemieszczenia kątowego φ od hc:

Podstawienie do równania [34] zależności od 34 do 36 z uproszczeniem:

W powyższej zależności podstawiono za M wartość podaną w zadaniu, czyli 5·Q·r.

Pozostało już tylko przyrównanie całkowitej energii kinetycznej E układu (zależność [32]) do pracy L na nim wykonanej (zależność [37]):

Praca krążka związanego z prędkością kątową ac musi być równa energii kinetycznej tego układu w danej chwili, a więc następujące równanie należy zapisać:

Ostatnie podstawienie do równania [39] za Vc2 zależności [38]:

Po raz kolejny dziwnym zrządzeniem losu otrzymany wynik jest taki sam, jak ten z zadania 3 umieszczonego na stronie Mechanika techniczna: Dynamika: Obliczenie przyspieszeń układów ciał metodą Newtona.

Zadanie 4

Obliczyć przyśpieszenie a ciężarka o masie 2m położonego na płaskiej poziomej płaszczyźnie. W układzie należy pominąć tarcie ciężarków o podłoże oraz masę cięgna.

Rysunek do zadania 4
Rys. 7
Rysunek układu do zadania.

Dane:

R[m];m[kg]

α=30°

Rozwiązanie:

Naniesienie dodatkowych oznaczeń na rysunku 8.

Rysunek do zadania 4
Rys. 8
Rysunek układu z uzupełnionymi oznaczeniami.

Równanie energii kinetycznej całego układu:

Jakże piękne równanie [41] wypadałoby uporządkować co nieco w następujący sposób, bo sposoby:

Nie tracąc czasu czym prędzej rozpisać należy zależności kinetyczne, by po raz kolejny pozbyć się niewiadomych ω1, ω2, ω3, ω4, V2, V3 oraz V4 z równania [42] poprzez uzależnienie ich od niewiadomej V1.

Zależność kinetyczna ω1 od V1:

Zależność kinetyczna ω2 od V1:

Zależność kinetyczna ω3 od V1:

Zależność kinetyczna ω3 od V1:

Zależność kinetyczna V2 od V1:

Zależność kinetyczna V3 od V1:

Zależność kinetyczna V4 od V1:

Po podstawieniu do równania [42] zależności kinetycznych od [43] do [49] i uproszczeniu powinno się uzyskać następujący wynik:

Najwyższa pora i czas na rozpisanie równania pracy L wykonanej przez siły czynne na układzie:

Z równania [51] trzeba się pozbyć niewiadomych x2, x3 oraz x4 uzależniając je od niewiadomej x1.

Zależność przemieszczenia φ1 od przemieszczenia x1:

Zależność przemieszczenia φ2 od przemieszczenia x1:

Zależność przemieszczenia φ3 od przemieszczenia x1:

Zależność przemieszczenia x2 od przemieszczenia x1:

Zależność przemieszczenia φ4 od przemieszczenia x1:

Zależność przemieszczenia x3 od przemieszczenia x1:

Zależność przemieszczenia x4 od przemieszczenia x1:

Podstawiając do równania [51] zależności [55], [57] i [58] oraz upraszczając je otrzymuje się następującą końcową jego postać:

Przyrównanie pracy L opisanej równaniem [59] i energii kinetycznej E całego układu zapisanej w równaniu [50]:

Wyznaczyć trzeba V12 w sposób następujący:

Równanie pracy L układu związanego z przyspieszeniem a i energii kinetycznej E tegoż układu:

Przekształcając powyższe równanie w końcu uzyskuje się następujący upragniony wzór na przyspieszenie a:

I znów dziwnym zrządzeniem losu otrzymany wynik jest taki sam, jak ten z zadania 4 umieszczonego na stronie Mechanika techniczna: Dynamika: Obliczenie przyspieszeń układów ciał metodą Newtona.

Zadanie 5

Obliczyć przyśpieszenie a krążka toczącego się bez poślizgu po równi pochyłej.

Rysunek do zadania 5
Rys. 9
Rysunek układu do zadania.

Dane:

R[m];m[kg]

Rozwiązanie:

Uzupełnienie oznaczeń.

Rysunek do zadania 5
Rys. 10
Rysunek układu z uzupełnionymi oznaczeniami.

Jak tradycja nakazuje tu energię rozpisuję:

i upraszczam, redukuję, taką postać otrzymuję:

Relacje kinetyczne rozpisuję:

Znów podstawić, zredukować:

Na pracę sił czynnych równanie rozpisuję:

i zależności przemieszczeń odnajduję:

Znów podstawiam, redukuję, taką postać pracy otrzymuję:

Pracę i energię do siebie przyrównuję i takie oto równanie otrzymuję:

Po przekształceniu otrzymuję:

Pracę i energię układu z ac związanego do siebie przyrównuję:

Przekształcam, redukuję i ac otrzymuję:

Drogi czytelniku, jeżeli nadal rozwiązywać tych zadań nie umiesz: "then my old Jedi friend I cannot help You anymore"

Komentarze