Rozwiązywanie układów równań za pomocą wzorów Cramera
Stronę tą wyświetlono już: 7638 razy
Czas obczaić kolejną dość ciekawą metodę rozwiązywania układów równań liniowych. Tą metodą są wzory Cramera, odkryte przez szwajcarskiego matematyka Gabriela Cramera.
Wzory te wykorzystują wyznaczniki macierzy kwadratowej spreparowanej z współczynników stojących przy niewiadomych oraz z wyrazów wolnych. Ogólny wzór wyznaczający i-tą niewiadomą w układzie równań przybiera postać następującą:
gdzie:
- xi - i-ta niewiadoma
- Wi - współczynnik macierzy utworzonej dla i-tej niewiadomej
- Wg - współczynnik macierzy utworzonej z współczynników stojących przy niewiadomej
Zanim napiszę jak tworzone są macierze, poniżej zamieszczam postać, do której należy doprowadzić układ równań, aby możliwe było prawidłowe utworzenie takiej macierzy.
[2] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Macierz wyznacznika głównego Wg będzie więc przyjmowała następującą postać:
[3] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Macierz wyznacznika Wi jest podobna do macierzy głównego wyznacznika Wg z tą tylko różnicą, że i-tą kolumnę zastępuje kolumna wyrazów wolnych w następujący sposób:
[4] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
gdzie kolumna z wyrazami wolnymi: b1, b2, ..., bn jest wstawiana za i-tą kolumnę macierzy wyznacznika głównego Wg.
Ogólny wzór na wyznacznik macierzy dowolnych rozmiarów, ma następującą postać:
[5] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
W dziale Matematyka → Macierze → Wyznacznik macierzy opisane zostało dokładnie zastosowanie wzoru [5], w celu więc zapoznania się z jego zastosowaniem odsyłam was do tamtego miejsca. Ja jedynie przytoczę tutaj jeszcze dwa wzory, pierwszy na wyznacznik macierzy o rozmiarach 2 x 2:
[6] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
oraz dla macierzy 3 x 3:
[7] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Zadanie 1
Rozwiązać układ równań z dwiema niewiadomymi:
[8] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Rozwiązanie:
Obliczam wyznacznik główny Wg:
[9] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
A teraz wyznacznik Wx:
[10] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Pozostał już tylko do obliczenia wyznacznik Wy:
[11] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Obliczanie x-a i y-ka:
[12] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Zadanie 2
Rozwiązać układ równań z trzema niewiadomymi:
[13] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Rozwiązanie:
Obliczanie wyznacznika głównego Wg:
[14] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Obliczanie wyznacznika Wx:
[15] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Obliczanie wyznacznika Wy:
[16] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Obliczanie wyznacznika Wz:
[17] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Wyznaczanie niewiadomych:
[18] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Tytuł:
Matematyka w uczeniu maszynowym
Autor:
Marc Peter Deisenroth, A. Aldo Faisal, Cheng Soon Ong
Tytuł:
Matematyka dyskretna dla praktyków. Algorytmy i uczenie maszynowe w Pythonie
Autor:
Ryan T. White, Archana Tikayat Ray
Tytuł:
Matematyka w Pythonie. Algebra, statystyka, analiza matematyczna i inne dziedziny
Autor:
Amit Saha
Tytuł:
Matematyka dla menedżerów. Wydanie II
Autor:
Michael C. Thomsett
Tytuł:
Matematyka Poradnik encyklopedyczny
Autor:
I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew
Tytuł:
Matematyka finansowa
Autor:
Jacek Jakubowski, Andrzej Palczewski, Marek Rutkowski, Łukasz Stettner
Tytuł:
Proste jak pi Matematyka to bułka z masłem
Autor:
Liz Strachan
Tytuł:
O twierdzeniach i hipotezach. Matematyka według Delty
Autor:
Witold Sadowski, Wiktor Bartol
Tytuł:
Matematyka dla biologów
Autor:
Dariusz Wrzosek
Tytuł:
Matematyka dla programistów Java
Autor:
Jacek Piechota