Konstrukcja chwilowego środka obrotu

Stronę tą wyświetlono już: 1900 razy

Konstrukcja chwilowego środka obrotu umożliwia obliczenie prędkości obranego punktu B pod warunkiem, że znana jest informacja o prędkości jednego z punktów A oraz kierunek prędkości punktu B. Punkt chwilowego środka obrotu można wyznaczyć poprzez poprowadzenie dwóch linii, pierwszej z punktu A prostopadłej do kierunku wektora jego ruchu oraz z punktu B również prostopadle do kierunku wektora prędkości. Punkt przecięcia tak poprowadzonych linii jest środkiem chwilowego obrotu.

Konstrukcja chwilowego środka obrotu.
Rys. 1
Konstrukcja chwilowego środka obrotu.

Relacja chwilowej prędkości VA, VB, długości odcinka |AS| oraz |BS| jest następująca:

Równanie [1] [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\omega_s =\frac{V_{A}}{|AS|}=\frac{V_{B}}{|BS|}

Zadanie 1

Dwa suwaki połączone przegubowo za pośrednictwem cięgna o długości l poruszają się po prostopadłych do siebie suwnicach. Obliczyć prędkość VB suwadła B zakładając, że prędkość VA suwadła A, kąt α oraz długość l cięgna są dane.

Rysunek zastosowania konstrukcji chwilowego środka ciężkości
Rys. 2
Układ dwóch suwaków połączonych z sobą przegubowo za pomocą cięgna.

Dane:

alpha; l; V_{A}

Rozwiązanie:

Stosując równanie [1] można wyznaczyć prędkość VB w następujący sposób:

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_{B}=V_{A}\cdot \frac{|BO|}{|AO|}=V_A\cdot \frac{l\cdot \sin\alpha}{l\cdot \cos\alpha}=V_{A}\cdot \tan\alpha

Zadanie 2

Obliczyć prędkość liniową punktu A okręgu toczącego się bez poślizgu po płaskiej poziomej powierzchni, którego prędkość liniowa VS jest znana.

Rysunek do zadania 2
Rys. 3
Ilustracja okręgu toczącego się bez poślizgu po płaskiej poziomej płaszczyźnie.

Dane:

R, V_S

Rozwiązanie:

Na prędkość punktu A okręgu toczącego się bez poślizgu składają się dwa wektory prędkości: pierwszy to wektor prędkości środka okręgu VS oraz drugi to wektor chwilowej prędkości punktu A wynikający z toczenia się bez poślizgu a więc z ruchu obrotowego tego okręgu. Dla lepszego zrozumienia na rysunku 4 naniesione zostały oba wektory prędkości działające na punkt A okręgu.

Rysunek do zadania 2
Rys. 4
Uzupełnienie rysunku 3 o wektory prędkości działające na punkt A okręgu toczącego się bez poślizgu po płaskiej poziomej płaszczyźnie.

Wektor wypadkowy prędkości punktu A stycznego do płaszczyzny poziomej jest wektorem zerowym. Oczywiście prędkość tego punktu jest prędkością chwilową, co oznacza że punkt A jest punktem chwilowego środka obrotu i można go wykorzystać do obliczenia chwilowej prędkości dowolnego punktu okręgu.

Zadanie 3

Obliczyć prędkość liniową punktu B, C oraz D okręgu toczącego się bez poślizgu po płaskiej poziomej powierzchni, którego prędkość liniowa VS jest znana.

Rysunek do zadania 2
Rys. 5
Ilustracja okręgu toczącego się bez poślizgu po płaskiej poziomej płaszczyźnie.

Dane:

R, V_S

Rozwiązanie:

Tak jak w przypadku zadania 3 na prędkość każdego z wyznaczonych punktów składają się wektory: prędkości VS środka okręgu i prędkości obwodowej, który jest równy wartości wektora VS, lecz przyjmuje różny kierunek i zwrot zależny od położenia obranego punktu na obwodzie koła. Jak widać na rysunku 6 możliwe jest obliczenie wartości wektora prędkości bezwzględnej danego punktu okręgu poprzez dodanie wektorów VS prędkości środka okręgu i prędkości obwodowej danego punktu okręgu.

Oczywiście możliwe jest rozwiązanie tego zadania z wykorzystaniem konstrukcji chwilowego środka obrotu, lecz w tym przypadku mija to się z celem, ponieważ wektory składowe są dane i ułożone w taki sposób, że ich wyznaczenie poprzez proste dodanie jest prostsze.

Rysunek do zadania 3
Rys. 6
Wyznaczanie wektorów prędkości punktów B, C oraz D.

Zadanie 4

Obliczyć prędkość liniową środka VS oraz prędkość kątową ωS elementu tocznego znajdującego się pomiędzy liniałem poruszającym się z prędkością V1 a podłożem poruszającym się z prędkością V2. Średnica mniejszego koła elementu rocznego jest dwa razy mniejsza od średnicy koła dużego.

Rysunek do zadania 4
Rys. 7
Układ do zadania 4.

Dane:

V_1=10left[frac{m}{s}right]; V_2=40left[frac{m}{s}right];frac{r}{R}=2[-];r=10[mm]

Rozwiązanie:

Dla układu z rysunku 7 należy wyznaczyć chwilowy środek obrotu, w sposób pokazany na rysunku 8.

Rysunek do zadania 4
Rys. 8
Konstrukcja tymczasowego środka obrotu dla układu z rysunku 7.

Najpierw znajdziemy położenie tymczasowego środka obrotu korzystając z następującej zależności:

Równanie [3] [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{V_1+V_2}{|CB|}=\frac{V_1}{|AC|}\Rightarrow |AC|=\frac{V_1\cdot |CB|}{V_1+V_2}=6[mm]

Wykorzystując zasadę konstrukcji chwilowego środka obrotu obliczyć można prędkość liniową krążka VS w następujący sposób:

Równanie [4] [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{V_1}{|AC|}=\frac{V_S}{|CS|-|AC|}\Rightarrow V_S=\frac{V_1\cdot \left(|CS|-|AC|\right)}{|AC|}=6\frac{2}{3}\left[\frac{m}{s}\right]

Pozostało jedynie wyznaczyć prędkość kątową ωS w następujący sposób:

Równanie [5] [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

omega_s=\frac{V_S}{|CS|-|AC|}=1\frac{1}{9}\left[\frac{rad}{s}\right]

Zadanie 5

Obliczyć prędkość liniową tłoka połączonego z wałem korbowym silnika spalinowego obracającym się z zawrotną prędkością ω=5000[obr/min].

Rysunek do zadania 5
Rys. 9
Korbowód i tłok silnika spalinowego.

Dane:

omega=5000left[frac{obr}{min}right]=523.6left[frac{rad}{s}right]; L_1=250[mm];L_2=100[mm];alpha =30^o

Rozwiązanie:

Najpierw wyznaczyć należy wektor prędkości V1 w następujący sposób:

Równanie [6] [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_1=\omega\cdot L_2=52360\left[\frac{mm}{s}\right]

W tym przypadku konstrukcja chwilowego środka obrotu jest niewygodna w użyciu (ale nie niemożliwa do wykorzystania) gdyż znając kąt α łatwiej jest zrzutować wektor prędkości V1 na oś ruchu tłoka:

Równanie [7] [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_{2}=V_1\cdot \sin\alpha=26180\left[\frac{mm}{s}\right]=94.248\left[\frac{km}{h}\right]

Komentarze