Momenty bezwładności figur płaskich

Stronę tą wyświetlono już: 3598 razy

Momentem bezwładności Iz figury płaskiej względem osi nazywamy granicę, do której dąży suma iloczynów elementarnych pul powierzchni dF przez kwadrat odległości środków ciężkości tych pul od osi z.

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\int_{(F)}y^2\, dF

Zadanie 1

Obliczyć momenty bezwładności: prostokąta, kwadratu, trójkąta oraz okręgu.

Rysunek pomocniczy do wyznaczenia momentu bezwładności prostokąta.
Rys. 1
Rysunek pomocniczy do wyznaczenia momentu bezwładności prostokąta względem jego środka ciężkości.
[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_x=\int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}y^2\cdot b, dy=b\cdot \left[ \frac{1}{3}\cdot y^3\right]_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}=\frac{1}{3}\cdot b\cdot \left( \frac{h^3}{8}+\frac{h^3}{8}\right)=\frac{b\cdot h^3}{12}

Podstawiając do wzoru [2] za b i h oznaczenie długości boku kwadratu a otrzymujemy wzór na moment bezwładności kwadratu względem środka ciężkości:

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_x=\frac{a^4}{12}

Rysunek pomocniczy do wyznaczenia momentu bezwładności trójkąta.
Rys. 2
Rysunek pomocniczy do wyznaczenia momentu bezwładności trójkąta względem jego środka ciężkości.

Zależność by od h oraz b.

[4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{by}{\frac{2}{3}\cdot h-y}=\frac{b}{h}\Rightarrow by=\frac{b}{h}\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot h-y\right)

i moment bezwładności:

[5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_x=\int_{-\frac{1}{3}\cdot h}^{\frac{2}{3}\cdot h}y^2\cdot by\, dy=\int_{-\frac{1}{3}\cdot h}^{\frac{2}{3}\cdot h}y^2\cdot \frac{b}{h}\cdot \left( \frac{2}{3}\cdot h-y\right)\, dy=\frac{b}{h}\cdot \int_{-\frac{1}{3}\cdot h}^{\frac{2}{3}\cdot h}\left(\frac{2}{3}\cdot h\cdot y^2-y^3\right)\, dy=\frac{b}{h}\cdot\left[ \frac{2}{9}\cdot h\cdot y^3-\frac{1}{4}\cdot y^4 \right] _{-\frac{1}{3}\cdot h}^{\frac{2}{3}\cdot h}=\frac{b}{h}\cdot \left( \frac{2}{9}\cdot h\cdot \frac{8}{27}\cdot h^3-\frac{1}{4}\cdot \frac{16}{81}\cdot h^4+\frac{1}{27}\cdot h^3\cdot h\cdot\frac{2}{9}+\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{81}\cdot h^4\right)=\frac{b}{h}\cdot\left(\frac{16}{243}\cdot h^4-\frac{4}{81}\cdot h^4+\frac{2}{243}\cdot h^4+\frac{1}{324}\cdot h^4\right)=\frac{b\cdot h^3}{36}

Rysunek pomocniczy do wyznaczenia momentu bezwładności okręgu.
Rys. 3
Rysunek pomocniczy do wyznaczenia momentu bezwładności okręgu względem jego środka ciężkości.

Zależność y od r i kąta alfa:

[6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{y}{r}=\sin\alpha\Rightarrow y=r\cdot \sin\alpha

oraz by od r i kąta alfa:

[7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{\frac{by}{2}}{r}=\cos\alpha\Rightarrow by=2\cdot r\cdot \cos\alpha

Moment bezwładności okręgu:

[8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_x=\int_{-r}^{r}y^2\cdot by \, dy=\int_{-\frac{pi}{2}}^{\frac{pi}{2}}r^2\cdot \sin^2\alpha\cdot 2\cdot r\cdot \cos\alpha\cdot r\cdot \cos\alpha\, d\alpha=2\cdot r^4\cdot \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2\alphacdot \cos^2\alpha\, d\alpha

Całkę z równania [8] policzymy oddzielnie jako nieoznaczoną:

[9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\int \sin^2\alpha\cdot \cos^2\alpha\, d\alpha=\int \sin^2\alpha \cdot \left( 1-\sin^2\alpha\right)\, d\alpha = \int \sin^2\alpha \, d\alpha -\int \sin^4\alpha\, d\alpha=-\frac{1}{2}\cdot \sin\alpha \cos\alpha +\frac{1}{2}\cdot \int \sin^2\, d\alpha-\left(-\frac{1}{4}\cdot \sin^3\alpha\cdot \cos\alpha +\frac{3}{4}\cdot \int \sin^2\alpha \, d\alpha\right)=-\frac{1}{2}\cdot \sin\alpha\cdot \cos\alpha+\frac{1}{2}\cdot \alpha +\frac{1}{4}\cdot \sin^3\alpha \cdot \cos\alpha -\frac{3}{4}\cdot \left(-\frac{1}{2}\cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha +\frac{1}{2}\cdot \alpha\right)=-\frac{1}{8}\cdot \sin\alpha\cdot \cos\alpha+\frac{1}{2}\cdot \alpha+\frac{1}{4}\cdot \sin^3\alpha\cdot \cos\alpha-\frac{3}{8}\cdot \alpha=-\frac{1}{8}\cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha +\frac{1}{8}\alpha+\frac{1}{4}\cdot \sin^3\alpha \cos\alpha

i ostatecznie rozwiązania całki oznaczonej z równania [8].

[10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_x=2\cdot r^4\cdot \left[-\frac{1}{8}\cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha +\frac{1}{8}\alpha+\frac{1}{4}\cdot \sin^3\alpha \cos\alpha\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=2\cdot r^4\cdot \left(\frac{\pi}{16}+\frac{\pi}{16}\right)=\frac{\pi\cdot r^4}{4}

Zadanie 2

Wyznaczyć wzór na moment bezwładności półokręgu względem jego środka ciężkości stosując twierdzenie Steinera.

Rysunek pomocniczy do wyznaczenia momentu bezwładności półokręgu względem jego " podstawy ".
Rys. 4
Rysunek pomocniczy do wyznaczenia momentu bezwładności półokręgu względem jego "podstawy".

Jak widać, najpierw obliczymy sobie moment bezwładności względem "podstawy" półokręgu, a następnie zastosujemy wcześniej już wspomniane twierdzenie Steinera. Moment bezwładności półokręgu liczy się tak samo jak dla okręgu, jedynie przedział całkowania zmienia się z:

-frac{pi}{2}; , frac{pi}{2}

na:

0; , frac{pi}{2}

Tak więc dla osi x moment bezwładności względem podstawy okręgu będzie:

[11]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_x=2\cdot r^4\cdot \left[-\frac{1}{8}\cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha +\frac{1}{8}\alpha+\frac{1}{4}\cdot \sin^3\alpha \cos\alpha\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=2\cdot r^4\cdot \frac{\pi}{16}=\frac{\pi\cdot r^4}{8}

Pozostaje zapoznanie się z twierdzeniem Steinera, dzięki któremu w łatwy sposób można wyprowadzić wzór na moment bezwładności naszego półokręgu względem jego środka ciężkości. Zanim jednak to nastąpi, przypomnijmy sobie wzór [19] na środek ciężkości półokręgu, który wyprowadzony został w zadaniu 3 z strony Mechanika techniczna:Statyka:Wyznaczanie środków ciężkości.

Moment bezwładności dowolnej figury płaskiej jest równy sumie momentów bezwładności elementarnych wycinków tej figury względem ich własnych środków ciężkości i iloczynowi pola powierzchni tych wycinków i kwadratu odległości środka ciężkości całej figury od środka ciężkości elementarnego wycinka.

W naszym przypadku trzeba postąpić odwrotnie od momentu bezwładności obliczonego w równaniu [11] odjąć należy obliczone pole powierzchni naszego półokręgu razy znana już odległość od środka podniesiona do kwadratu.

[12]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{xc}=\frac{\pi\cdot r^4}{8} - \frac{\pi \cdot r^2}{2}\cdot \left(\frac{4\cdot r}{3\cdot \pi}\right)^2=\frac{\pi\cdot\r r^4}{8}-\frac{\pi\cdot r^2}{2}\cdot \frac{16\cdot r^2}{9\cdot \pi^2}=\frac{\pi\cdot r^4}{8}-\frac{8\cdot r^4}{9\cdot \pi}=\frac{\left(9 \cdot \pi^2 -64\right)\cdot r^4}{72\cdot \pi}\approx 0,11\cdot r^4

Względem osi y moment bezwładności jest równy połowie momentu bezwładności całego okręgu:

[13]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{y}=\frac{\pi \cdot r^4}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\pi\cdot r^4}{8}

Zadanie 3

Obliczyć moment bezwładności figury płaskiej z zadania 7 z strony Mechanika techniczna:Statyka:Wyznaczanie środków ciężkości względem osi X przechodzącej przez środek ciężkości, którego odległość od podstawy została obliczona w wcześniej już wspomnianym zadaniu 7.

[14]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{X}=0,11\cdot R^4+\frac{1}{2}\cdot \pi\cdot R^2\cdot\left(\frac{4\cdot R}{3\cdot \pi}+H+h-y_c\right)^2+\frac{b\cdot H^3}{12}+b\cdot h\cdot \left( y_c-h-\frac{H}{2}\right)^2+\frac{B\cdot h^3}{12}+B\cdot h\cdot \left(y_c-\frac{h}{2}\right)^2\approx 45349[cm^4]

Zadanie 4

Obliczyć moment bezwładności figury płaskiej z zadania 9 z strony Mechanika techniczna:Statyka:Wyznaczanie środków ciężkości względem osi X przechodzącej przez środek ciężkości, którego odległość od podstawy została obliczona w wcześniej już wspomnianym zadaniu 9.

[15]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{X}=\frac{b\cdot h^3}{36}+\frac{1}{2}\cdot b\cdot h\cdot\left(y_c-\frac{1}{3}\cdot h\right)^2-0,11\cdot r^4+\frac{1}{2}\cdot \pi\cdot r^2\cdot \left(y_c-\frac{4\cdot r}{3\cdot \pi}\right)^2

Gdyby komuś przyszło do głowy podstawić za yc wzór [35] z strony Mechanika techniczna:Statyka:Wyznaczanie środków ciężkości to powinien otrzymać taki oto ładny wzór ogólny:

[16]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{X}=-{{99\,\pi^3\,r^8+\left(-198\,b\,h\,\pi^2-800\,b\,h\,\pi\right)\,r^6+400\,b\,h^2\,\pi^2\,r^5+\left(-75\,b\,h^3\,\pi^3+99\,b^2 \,h^2\,\pi-800\,b^2\,h^2\right)\,r^4+400\,b^2\,h^3\,\pi\,r^3-25\,b^3 \,h^5\,\pi}\over{900\,pi^3\,r^4-1800\,b\,h\,pi^2\,r^2+900\,b^2\,h^2 \,\pi}}

Zadanie 5

Obliczyć moment bezwładności figury płaskiej z zadania 10 z strony Mechanika techniczna:Statyka:Wyznaczanie środków ciężkości względem osi X i y przechodzącej przez środek ciężkości tej bryły, którego odległość od podstawy i lewego boku została obliczona we wcześniej już wspomnianym zadaniu 11 . Obliczyć moment dewiacji oraz maksymalny i minimalny moment bezwładności.

[17]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{X}=\frac{1\frac{1}{2}^3\cdot 4}{36}+\frac{1}{2}\cdot 1\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \left(4+\frac{1\frac{1}{2}}{3}-y_c\right)^2+4^2\cdot\left(y_c-\frac{4}{2}\right)^2\approx 37,4978\left[cm^4\right]

[18]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{Y}=\frac{4^3\cdot 1\frac{1}{2}}{36}+\frac{1}{2}\cdot 1\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \left(\frac{8}{3}-x_c\right)^2+\frac{4^4}{12}+4^2\cdot\left(\frac{4}{2}-x_o\right)^2\approx 25,1228\left[cm^4\right]

Moment dewiacji oblicza się z następującego wzoru:

[19]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{XY}=\int_{(F)}x\cdot y\, dF

Czyli moment dewiacji obliczyć trzeba w następujący sposób:

[20]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{XY}=4^2\cdot \left(x_c-\frac{4}{2}\right)\cdot \left(y_c-\frac{4}{2}\right)+\int x\cdot y\, df=\frac{240}{361}+\int x\cdot y\, df

Całka z równania [20] dotyczy trójkątnej części figury płaskiej z zadania 10 z strony Mechanika techniczna:Statyka:Wyznaczanie środków ciężkości, ponieważ trójkąt ten nie jest ustawiony tak, że jego własny moment dewiacji równy jest 0 nie da się w prosty sposób (czyli mnożąc jego pole powierzchni razy odległość jego środka ciężkości od osi x i y) obliczyć momentu dewiacji Ixy.

Rysunek pomocniczy do wyznaczenia momentu dewiacji trójkąta prostokątnego.
Rys. 5
Rysunek pomocniczy do wyznaczenia momentu dewiacji dowolnego trójkąta prostokątnego.

Na podstawie rysunku 5 można napisać taki oto wzór ogólny na funkcję opisującą przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego:

[21]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot x+y_1-\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot x_1=0

I w końcu wzór na moment dewiacji trójkąta prostokątnego Ixy:
[22]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{XY}=\int_{x_1}^{x_2}dx\int_{y_1}^{\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot x+y_1-\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot x_1}\xcdot y\, dy

Rozpisanie i wyprowadzenie jest dość żmudne, i nie będę się już tutaj o tym rozpisywał, podam tylko rozwiązanie które jest następujące:

[23]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{XY}=\frac{\left( 6\,{x_1}^{2}\,{x_2}^{2}-12\,{x_1}^{3}\,x_2+5,{x_1}^{4}\right) \,{y_2}^{2}+\left( 4\,{x_1}^{3}\,x_2-2\,{x_1}^{4}\right) \,y_1\,y_2+\left( -6\,{x_1}^{2}\,{x_2}^{2}+8\,{x_1}^{3}\,x_2-3\,{x_1}^{4}\right) \,{y_1}^{2}}{24\,{x_2}^{2}-48\,x_1\,x_2+24\,{x_1}^{2}}

Prawda, że piękny. Teraz obliczyć należy współrzędne punktów trójkątnej części figury płaskiej z zadania 10 z strony Mechanika techniczna:Statyka:Wyznaczanie środków ciężkości:

[24]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x_1=-2\frac{2}{19}+4=1\frac{17}{19}[cm]

[25]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

y_1=1\frac{1}{2}+4-2\frac{15}{38}=3\frac{2}{19}[cm]

[26]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x_2=-2\frac{2}{19}[cm]

[27]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

y_2=4-2\frac{15}{38}=1\frac{23}{38}[cm]

Ostatecznie więc, podstawiając do wzoru [23] uzyskujemy moment bezwładności:

[28]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{XY}=-\frac{\left( 6\,{x_1}^{2}\,{x_2}^{2}-12\,{x_1}^{3}\,x_2+5\,{x_1}^{4}\right) \,{y_2}^{2}+\left( 4\,{x_1}^{3}\,x_2-2\,{x_1}^{4}\right) \,y_1\,y_2+\left( -6\,{x_1}^{2}\,{x_2}^{2}+8\,{x_1}^{3}\,x_2-3\,{x_1}^{4}\right) \,{y_1}^{2}}{24\,{x_2}^{2}-48\,x_1\,x_2+24\,{x_1}^{2}}\approx 4.04553573\left[cm^4\right]

To jeszcze nie koniec, obliczony moment bezwładności [28] trzeba podstawić do równania [20] w następujący sposób:

[29]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{XY}\approxfrac{240}{361}+4.04553573\approx 4.710355675\left[cm^4\r^2\right]

A teraz wzory na momenty bezwładność względem osi, które dają najmniejszy i największy moment bezwładności:

[30]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{U}=I_{X}\cdot \cos^2\alpha+I_{Y}\cdot \sin^2\alpha-I_{XY}\cdot \sin( 2\cdot \alpha)

[31]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{V}=I_{Y}\cdot \cos^2\alpha+I_{X}\cdot \sin^2\alpha+I_{XY}\cdot \sin( 2\cdot \alpha)

Tajemniczy kąt alfa należy wyliczyć najsamprzód z następującej zależności:

[32]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\tan(2\cdot \alpha)=\frac{2\cdot I_{XY}}{I_Y-I_X}

Wyliczenie kąta alfa:

[33]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\alpha = \frac{1}{2}\cdot \arctan\left(\frac{2\cdot I_{XY}}{I_Y-I_X}\right)=-18.64^o

Pozostało obliczenie momentów bezwładności IU oraz IV:

[34]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{U} = 39.08671349\left[cm^4\right]

[35]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{V} = 23.53388651\left[cm^4\right]

Zadanie 6

Obliczyć moment bezwładności figury płaskiej z zadania 11 z strony Mechanika techniczna:Statyka:Wyznaczanie środków ciężkości względem osi X przechodzącej przez środek ciężkości, którego odległość od podstawy została obliczona we wcześniej już wspomnianym zadaniu 11.

[36]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{X}=\frac{6\cdot 4^3}{12}+6\cdot 4\cdot left( y_c-2\right)^2-0.11\cdot 1^4-frac{1}{2}\cdot \pi\cdot 1^2\cdot \left(y_c - \frac{4\cdot 1}{3\cdot pi}\right)^2-\frac{2\cdot 1^3}{36}-\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot 1+3-y_c\right)^2-2\cdot \frac{\pi \cdot \left(frac{1}{2}\right)^4}{4}-2\cdot \pi\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot \left(y_c-2)^2=24.14\left[ cm^4\right]

Zadanie 7

Obliczyć moment bezwładności figury płaskiej z zadania 12 z strony Mechanika techniczna:Statyka:Wyznaczanie środków ciężkości względem osi X przechodzącej przez środek ciężkości, którego odległość od podstawy została obliczona we wcześniej już wspomnianym zadaniu 12.

[37]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{X}=-0.11\cdot \left(1\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}\cdot \pi\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot \left(y_c-\frac{4\cdot \left(1\frac{1}{2}\right)^2}{3\cdot \pi}\right)+\frac{6\cdot 3^3}{12}+6\cdot 3\cdot \left(y_c-1\frac{1}{2}\right)^2+\frac{2\cdot \left(2\frac{1}{2}\right)^3}{12}+2\cdot 2\frac{1}{2}\cdot \left(y_c-3-\frac{2\frac{1}{2}}{2}\right)^2+\frac{6\cdot 2^3}{12}+6\cdot 2\cdot \left(6\frac{1}{2}-y_c\right)^2+\frac{6cdot 3^3}{12}+\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3\cdot \left(\frac{1}{3}\cdot 3+7\frac{1}{2}-y_c\right)^2\approx 317,32\left[cm^4\right]

Komentarze