Wyznaczanie środków ciężkości

Stronę tą wyświetlono już: 8174 razy

Środek ciężkości - punkt przyłożenia wypadkowej siły ciężkości lub punkt równowagi sił występujących w przekroju bryły poddawanej skręcaniu lub zginaniu.

Wyznaczenie środka ciężkości jest niekiedy możliwe z wykorzystaniem metody symetrii, która mówi że jeśli dane ciało ma oś symetrii, płaszczyznę symetrii lub punkt symetrii, to środek ciężkości leży na osi, płaszczyźnie oraz w punkcie symetrii.

Figury płaskie z punktem symetrii
Rys. 1
Okrąg jako figura płaska z środkowym punktem symetrii.
Bryły z punktem symetrii
Rys. 2
Kula jako bryła przestrzenna z punktem symetrii.
a)Środek ciężkości prostokątab)Środek ciężkości kwadratuc)Środek ciężkości trójkąta równobocznegod)Środek ciężkości pięciokąta foremnego
Rys. 3
Figury płaskie z osiami symetrii wyznaczającymi środek ciężkości: a) prostokąta; b) kwadratu, c) trójkąta równoramiennego, d) pięciokąta foremnego.
a)Środek ciężkości sześcianub)Środek ciężkości walca
Rys. 4
Bryły z płaszczyznami symetrii wyznaczającymi środek ciężkości: a) prostopadłościan; b) walec.

Jeżeli dane ciało można podzielić na części, dla których w łatwy sposób można znaleźć (np. według zasady symetrii) współrzędne środka ciężkości to środek ciężkości takiego ciała można obliczyć korzystając z następującego wzoru:

gdzie:

  • Vi - długość (dla odcinków); pole powierzchni (dla figur); objętość (dla brył) i-tego elementu składowego ciała, którego środek ciężkości jest liczony.
  • Pi - położenie środka ciężkości elementu i-tego.

Jeżeli w danym ciele znajduje się pustka, możliwe jest wyznaczenie środka ciężkości tego ciała poprzez przyjęcie ujemnej wartości pola powierzchni lub objętości (w zależności od rodzaju obiektu) tejże pustki we wzorze [1].

Środek ciężkości trójkąta dowolnego

Przy okazji rozwiązywania zadania 2 z działu Układy przestrzenne statycznie wyznaczalne liczony był środek ciężkości płyty trójkątnej z użyciem wzoru na środek ciężkości trójkąta [2].

Środek ciężkości trójkąta dowolnego leży w odległości jednej trzeciej wysokości tego trójkąta licząc od boku, na który ta wysokość została spuszczona (rys 5). Powyższe stwierdzenie wynika właściwie z wzoru [2], aby tego dowieść należy przyjąć układ współrzędnych, dla którego oś X pokrywa się z danym bokiem trójkąta (jak na rysunku 5). W takim przypadku wzór [2] redukuje się dla współrzędnych Y-kowych do obliczenia jednej trzeciej wysokości tego trójkąta.

Wyznaczanie środka ciężkości trójkąta dowolnego
Rys. 5
Wyznaczanie środka ciężkości trójkąta dowolnego.

Ostatecznie więc uzyskuje się wzór na odległość środka ciężkości trójkąta dowolnego od dowolnego boku:

Wzory obliczeniowe

Istnieją wzory ogólne wyznaczające środek ciężkości brył, oraz figur płaskich. Wzory te mają następującą postać:

gdzie:

  • ρ - gęstość, lub funkcja gęstości ciała (zazwyczaj przyjmuje się wartość 1);
  • x, y, z - środek ciężkości elementarnej objętości V.

Licznik wzorów [4], [5] i [6] to statyczny moment ciała względem płaszczyzny układu współrzędnych XYZ. Mianownik to masa danego ciała (w zasadzie jest to objętość, ale przemnożona przez ρ daje oczywiście masę).

Zadanie 1

Wyznaczyć środek ciężkości trójkąta prostokątnego o wymiarach h na b.

Rysunek pomocniczy do zadania 40
Rys. 6
Rysunek pomocniczy.

Rozwiązanie:

gdzie:

  • My - statyczny moment figury względem osi y układu współrzędnych

Dla osi x liczenie tego samego nie ma sensu, ponieważ xc (przez analogię do obliczeń yc) jest równe:

Zadanie 2

Wyznaczyć środek ciężkości wycinka okręgu o promieniu R kącie β i kącie położenia α.

Rysunek pomocniczy do zadania 41
Rys. 7
Rysunek pomocniczy.

Rozwiązanie:

Tym razem całkowanie biegunowe, coby się nie przemęczać za bardzo z obliczeniami:

Zadanie 3

Korzystając z wyprowadzonych wzorów [16], [17] wyznaczyć środek półokręgu z rysunku 8.

Rysunek pomocniczy do zadania 3
Rys. 8
Rysunek pomocniczy.

Rozwiązanie:

Zadanie 4

Wyprowadzić wzór na środek ciężkości okręgu ściętego cięciwą jak na rysunku 9.

Rysunek pomocniczy do zadania 4
Rys. 9
Rysunek pomocniczy.

Rozwiązanie:

Górna granica całkowania to R, natomiast dolna:

a można wyznaczyć z następującej zależności:

tak więc dolna granica całkowania wynosi:

należy wyznaczyć wartość kąta α w zależności od kąta β:

granice całkowania dla kąta Φ:

Teraz można już przejść do głównej części zadania:

Ponieważ xc leży na osi y, nie ma sensu w tym przypadku liczyć dla niego środek ciężkości (zasada osi symetrii).

Zadanie 5

Obliczyć środek ciężkości przekroju belki z rysunku 10.

Rysunek przekroju 5
Rys. 10
Przekrój belki.

Rozwiązanie:

Rozwiązaniem będzie oczywiście całka po funkcji określającej krzywiznę przekroju belki:

Zadanie 6

Obliczyć środek ciężkości zbioru linii z rysunku 11.

Rysunek zbioru linii do zadania 6
Rys. 11
Zbiór linii.

Rozwiązanie:

środek ciężkości zbioru linii można wyznaczyć korzystając z wzoru [1], tak więc:

Zadanie 7

Obliczyć środek ciężkości figury płaskiej z rysunku 12 (należy skorzystać z wzoru [19] w celu określenia środka półokręgu).

Rysunek figury płaskiej do zadania 7
Rys. 12
Rysunek figury płaskiej.

Dane:

r=10[cm]; H=20[cm]; B=16[cm]; h=5[cm];b=6[cm]

Rozwiązanie:

Figura płaska z rysunku 12 ma oś symetrii, dlatego też przyjąć można położenie układu współrzędnych, tak aby oś y przechodziła przez środek symetrii. W ten sposób zadanie sprowadza się do znalezienia położenia środka ciężkości tylko na osi Y.

Zadanie 8

Obliczyć środek ciężkości figury płaskiej z rysunku 13.

Rysunek figury płaskiej do zadania 8
Rys. 13
Rysunek figury płaskiej.

Dane:

b[cm]; h[cm]; r[cm]

Rozwiązanie:

Zadanie 9

Obliczyć środek ciężkości figury płaskiej z rysunku 14.

Rysunek figury płaskiej do zadania 8
Rys. 14
Rysunek figury płaskiej.

Dane:

r=2[cm]; h=12[cm];b=8[cm]

Rozwiązanie:

Zadanie 10

Obliczyć środek ciężkości figury płaskiej z rysunku 15.

Rysunek figury płaskiej do zadania 9
Rys. 15
Rysunek figury płaskiej.

Rozwiązanie:

Zadanie 11

Obliczyć środek ciężkości figury płaskiej z rysunku 16.

Rysunek figury płaskiej do zadania 10
Rys. 16
Rysunek figury płaskiej.

Rozwiązanie:

Zadanie 12

Obliczyć środek ciężkości figury płaskiej z rysunku 17.

Rysunek figury płaskiej do zadania 11
Rys. 17
Rysunek figury płaskiej.

Rozwiązanie:

Zadanie 13

Wyznaczyć środek ciężkości stożka.

Rysunek pomocniczy
Rys. 18
Rysunek pomocniczy do obliczeń środka ciężkości stożka.

Rozwiązanie:

Należy znaleźć geometryczną zależność promienia r od promienia R, wysokości stożka H i położenia przekroju stożka z.

środek ciężkości stożka leży w odległości trzech czwartych jego wysokości licząc od wierzchołka.

Zadanie 14

Wyznaczyć środek ciężkości stożka ściętego.

Rysunek pomocniczy
Rys. 19
Rysunek pomocniczy do obliczeń środka ciężkości stożka ściętego.

Rozwiązanie:

Należy znaleźć geometryczną zależność promienia r od promieni RD, RG, wysokości stożka H i położenia przekroju stożka z.

Obliczenie masy obiektu o kształcie stożka ściętego:

Obliczenie statycznego momentu bezwładności obiektu w kształcie stożka ściętego:

Teraz ta łatwiejsza część zadania:

Zadanie 15

Wyznaczyć środek ciężkości wycinka kuli.

Rysunek pomocniczy
Rys. 20
Rysunek pomocniczy do obliczeń środka ciężkości wycinka kuli.

Rozwiązanie:

Wiedząc, że środek ciężkości bryły z osią symetrii leży w środku ciężkości przekroju tej bryły, przechodzącego przez oś jej symetrii wyznaczenie środka ciężkości wycinka kuli można obliczyć również ze wzorów [15], [17].

Zadanie 16

Obliczyć środek ciężkości wspornika z rysunku 21.

Rysunek wspornika
Rys. 21
Rysunek wspornika.

Rozwiązanie:

Dziabnąć trzeba wspornik na dwa prostopadłościany o masie dodatniej i cztery walce o masie ujemnej.

Załączniki:

Program obliczający środek ciężkości i pole powierzchni nie przecinającej się figury płaskiej

Komentarze