Momenty bezwładności figur płaskich

Stronę tą wyświetlono już: 3905 razy

Momentem bezwładności Iz figury płaskiej względem osi nazywamy granicę, do której dąży suma iloczynów elementarnych pul powierzchni dF przez kwadrat odległości środków ciężkości tych pul od osi z.

Równanie [1] [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\int_{(F)}y^2\, dF

Zadanie 1

Obliczyć momenty bezwładności: prostokąta, kwadratu, trójkąta oraz okręgu.

Rysunek pomocniczy do wyznaczenia momentu bezwładności prostokąta.
Rys. 1
Rysunek pomocniczy do wyznaczenia momentu bezwładności prostokąta względem jego środka ciężkości.
Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_x=\int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}y^2\cdot b, dy=b\cdot \left[ \frac{1}{3}\cdot y^3\right]_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}=\frac{1}{3}\cdot b\cdot \left( \frac{h^3}{8}+\frac{h^3}{8}\right)=\frac{b\cdot h^3}{12}

Podstawiając do wzoru [2] za b i h oznaczenie długości boku kwadratu a otrzymujemy wzór na moment bezwładności kwadratu względem środka ciężkości:

Równanie [3] [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_x=\frac{a^4}{12}

Rysunek pomocniczy do wyznaczenia momentu bezwładności trójkąta.
Rys. 2
Rysunek pomocniczy do wyznaczenia momentu bezwładności trójkąta względem jego środka ciężkości.

Zależność by od h oraz b.

Równanie [4] [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{by}{\frac{2}{3}\cdot h-y}=\frac{b}{h}\Rightarrow by=\frac{b}{h}\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot h-y\right)

i moment bezwładności:

Równanie [5] [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_x=\int_{-\frac{1}{3}\cdot h}^{\frac{2}{3}\cdot h}y^2\cdot by\, dy=\int_{-\frac{1}{3}\cdot h}^{\frac{2}{3}\cdot h}y^2\cdot \frac{b}{h}\cdot \left( \frac{2}{3}\cdot h-y\right)\, dy=\frac{b}{h}\cdot \int_{-\frac{1}{3}\cdot h}^{\frac{2}{3}\cdot h}\left(\frac{2}{3}\cdot h\cdot y^2-y^3\right)\, dy=\frac{b}{h}\cdot\left[ \frac{2}{9}\cdot h\cdot y^3-\frac{1}{4}\cdot y^4 \right] _{-\frac{1}{3}\cdot h}^{\frac{2}{3}\cdot h}=\frac{b}{h}\cdot \left( \frac{2}{9}\cdot h\cdot \frac{8}{27}\cdot h^3-\frac{1}{4}\cdot \frac{16}{81}\cdot h^4+\frac{1}{27}\cdot h^3\cdot h\cdot\frac{2}{9}+\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{81}\cdot h^4\right)=\frac{b}{h}\cdot\left(\frac{16}{243}\cdot h^4-\frac{4}{81}\cdot h^4+\frac{2}{243}\cdot h^4+\frac{1}{324}\cdot h^4\right)=\frac{b\cdot h^3}{36}

Rysunek pomocniczy do wyznaczenia momentu bezwładności okręgu.
Rys. 3
Rysunek pomocniczy do wyznaczenia momentu bezwładności okręgu względem jego środka ciężkości.

Zależność y od r i kąta alfa:

Równanie [6] [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{y}{r}=\sin\alpha\Rightarrow y=r\cdot \sin\alpha

oraz by od r i kąta alfa:

Równanie [7] [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{\frac{by}{2}}{r}=\cos\alpha\Rightarrow by=2\cdot r\cdot \cos\alpha

Moment bezwładności okręgu:

Równanie [8] [8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_x=\int_{-r}^{r}y^2\cdot by \, dy=\int_{-\frac{pi}{2}}^{\frac{pi}{2}}r^2\cdot \sin^2\alpha\cdot 2\cdot r\cdot \cos\alpha\cdot r\cdot \cos\alpha\, d\alpha=2\cdot r^4\cdot \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2\alphacdot \cos^2\alpha\, d\alpha

Całkę z równania [8] policzymy oddzielnie jako nieoznaczoną:

Równanie [9] [9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\int \sin^2\alpha\cdot \cos^2\alpha\, d\alpha=\int \sin^2\alpha \cdot \left( 1-\sin^2\alpha\right)\, d\alpha = \int \sin^2\alpha \, d\alpha -\int \sin^4\alpha\, d\alpha=-\frac{1}{2}\cdot \sin\alpha \cos\alpha +\frac{1}{2}\cdot \int \sin^2\, d\alpha-\left(-\frac{1}{4}\cdot \sin^3\alpha\cdot \cos\alpha +\frac{3}{4}\cdot \int \sin^2\alpha \, d\alpha\right)=-\frac{1}{2}\cdot \sin\alpha\cdot \cos\alpha+\frac{1}{2}\cdot \alpha +\frac{1}{4}\cdot \sin^3\alpha \cdot \cos\alpha -\frac{3}{4}\cdot \left(-\frac{1}{2}\cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha +\frac{1}{2}\cdot \alpha\right)=-\frac{1}{8}\cdot \sin\alpha\cdot \cos\alpha+\frac{1}{2}\cdot \alpha+\frac{1}{4}\cdot \sin^3\alpha\cdot \cos\alpha-\frac{3}{8}\cdot \alpha=-\frac{1}{8}\cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha +\frac{1}{8}\alpha+\frac{1}{4}\cdot \sin^3\alpha \cos\alpha

i ostatecznie rozwiązania całki oznaczonej z równania [8].

Równanie [10] [10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_x=2\cdot r^4\cdot \left[-\frac{1}{8}\cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha +\frac{1}{8}\alpha+\frac{1}{4}\cdot \sin^3\alpha \cos\alpha\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=2\cdot r^4\cdot \left(\frac{\pi}{16}+\frac{\pi}{16}\right)=\frac{\pi\cdot r^4}{4}

Zadanie 2

Wyznaczyć wzór na moment bezwładności półokręgu względem jego środka ciężkości stosując twierdzenie Steinera.

Rysunek pomocniczy do wyznaczenia momentu bezwładności półokręgu względem jego " podstawy ".
Rys. 4
Rysunek pomocniczy do wyznaczenia momentu bezwładności półokręgu względem jego "podstawy".

Jak widać, najpierw obliczymy sobie moment bezwładności względem "podstawy" półokręgu, a następnie zastosujemy wcześniej już wspomniane twierdzenie Steinera. Moment bezwładności półokręgu liczy się tak samo jak dla okręgu, jedynie przedział całkowania zmienia się z:

-frac{pi}{2}; , frac{pi}{2}

na:

0; , frac{pi}{2}

Tak więc dla osi x moment bezwładności względem podstawy okręgu będzie:

Równanie [11] [11]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_x=2\cdot r^4\cdot \left[-\frac{1}{8}\cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha +\frac{1}{8}\alpha+\frac{1}{4}\cdot \sin^3\alpha \cos\alpha\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=2\cdot r^4\cdot \frac{\pi}{16}=\frac{\pi\cdot r^4}{8}

Pozostaje zapoznanie się z twierdzeniem Steinera, dzięki któremu w łatwy sposób można wyprowadzić wzór na moment bezwładności naszego półokręgu względem jego środka ciężkości. Zanim jednak to nastąpi, przypomnijmy sobie wzór [19] na środek ciężkości półokręgu, który wyprowadzony został w zadaniu 3 z strony Mechanika techniczna:Statyka:Wyznaczanie środków ciężkości.

Moment bezwładności dowolnej figury płaskiej jest równy sumie momentów bezwładności elementarnych wycinków tej figury względem ich własnych środków ciężkości i iloczynowi pola powierzchni tych wycinków i kwadratu odległości środka ciężkości całej figury od środka ciężkości elementarnego wycinka.

W naszym przypadku trzeba postąpić odwrotnie od momentu bezwładności obliczonego w równaniu [11] odjąć należy obliczone pole powierzchni naszego półokręgu razy znana już odległość od środka podniesiona do kwadratu.

Równanie [12] [12]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{xc}=\frac{\pi\cdot r^4}{8} - \frac{\pi \cdot r^2}{2}\cdot \left(\frac{4\cdot r}{3\cdot \pi}\right)^2=\frac{\pi\cdot\r r^4}{8}-\frac{\pi\cdot r^2}{2}\cdot \frac{16\cdot r^2}{9\cdot \pi^2}=\frac{\pi\cdot r^4}{8}-\frac{8\cdot r^4}{9\cdot \pi}=\frac{\left(9 \cdot \pi^2 -64\right)\cdot r^4}{72\cdot \pi}\approx 0,11\cdot r^4

Względem osi y moment bezwładności jest równy połowie momentu bezwładności całego okręgu:

Równanie [13] [13]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{y}=\frac{\pi \cdot r^4}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\pi\cdot r^4}{8}

Zadanie 3

Obliczyć moment bezwładności figury płaskiej z zadania 7 z strony Mechanika techniczna → Statyka → Wyznaczanie środków ciężkości względem osi X przechodzącej przez środek ciężkości, którego odległość od podstawy została obliczona w wcześniej już wspomnianym zadaniu 7.

Równanie [14] [14]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{X}=0,11\cdot R^4+\frac{1}{2}\cdot \pi\cdot R^2\cdot\left(\frac{4\cdot R}{3\cdot \pi}+H+h-y_c\right)^2+\frac{b\cdot H^3}{12}+b\cdot h\cdot \left( y_c-h-\frac{H}{2}\right)^2+\frac{B\cdot h^3}{12}+B\cdot h\cdot \left(y_c-\frac{h}{2}\right)^2\approx 45349[cm^4]

Zadanie 4

Obliczyć moment bezwładności figury płaskiej z zadania 9 z strony Mechanika techniczna → Statyka → Wyznaczanie środków ciężkości względem osi X przechodzącej przez środek ciężkości, którego odległość od podstawy została obliczona w wcześniej już wspomnianym zadaniu 9.

Równanie [15] [15]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{X}=\frac{b\cdot h^3}{36}+\frac{1}{2}\cdot b\cdot h\cdot\left(y_c-\frac{1}{3}\cdot h\right)^2-0,11\cdot r^4+\frac{1}{2}\cdot \pi\cdot r^2\cdot \left(y_c-\frac{4\cdot r}{3\cdot \pi}\right)^2

Gdyby komuś przyszło do głowy podstawić za yc wzór [35] z strony Mechanika techniczna → Statyka → Wyznaczanie środków ciężkości to powinien otrzymać taki oto ładny wzór ogólny:

Równanie [16] [16]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{X}=-{{99\,\pi^3\,r^8+\left(-198\,b\,h\,\pi^2-800\,b\,h\,\pi\right)\,r^6+400\,b\,h^2\,\pi^2\,r^5+\left(-75\,b\,h^3\,\pi^3+99\,b^2 \,h^2\,\pi-800\,b^2\,h^2\right)\,r^4+400\,b^2\,h^3\,\pi\,r^3-25\,b^3 \,h^5\,\pi}\over{900\,pi^3\,r^4-1800\,b\,h\,pi^2\,r^2+900\,b^2\,h^2 \,\pi}}

Zadanie 5

Obliczyć moment bezwładności figury płaskiej z zadania 10 z strony Mechanika techniczna → Statyka → Wyznaczanie środków ciężkości względem osi X i y przechodzącej przez środek ciężkości tej bryły, którego odległość od podstawy i lewego boku została obliczona we wcześniej już wspomnianym zadaniu 11 . Obliczyć moment dewiacji oraz maksymalny i minimalny moment bezwładności.

Równanie [17] [17]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{X}=\frac{1\frac{1}{2}^3\cdot 4}{36}+\frac{1}{2}\cdot 1\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \left(4+\frac{1\frac{1}{2}}{3}-y_c\right)^2+4^2\cdot\left(y_c-\frac{4}{2}\right)^2\approx 37,4978\left[cm^4\right]

Równanie [18] [18]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{Y}=\frac{4^3\cdot 1\frac{1}{2}}{36}+\frac{1}{2}\cdot 1\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \left(\frac{8}{3}-x_c\right)^2+\frac{4^4}{12}+4^2\cdot\left(\frac{4}{2}-x_o\right)^2\approx 25,1228\left[cm^4\right]

Moment dewiacji oblicza się z następującego wzoru:

Równanie [19] [19]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{XY}=\int_{(F)}x\cdot y\, dF

Czyli moment dewiacji obliczyć trzeba w następujący sposób:

Równanie [20] [20]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{XY}=4^2\cdot \left(x_c-\frac{4}{2}\right)\cdot \left(y_c-\frac{4}{2}\right)+\int x\cdot y\, df=\frac{240}{361}+\int x\cdot y\, df

Całka z równania [20] dotyczy trójkątnej części figury płaskiej z zadania 10 z strony Mechanika techniczna → Statyka → Wyznaczanie środków ciężkości, ponieważ trójkąt ten nie jest ustawiony tak, że jego własny moment dewiacji równy jest 0 nie da się w prosty sposób (czyli mnożąc jego pole powierzchni razy odległość jego środka ciężkości od osi x i y) obliczyć momentu dewiacji Ixy.

Rysunek pomocniczy do wyznaczenia momentu dewiacji trójkąta prostokątnego.
Rys. 5
Rysunek pomocniczy do wyznaczenia momentu dewiacji dowolnego trójkąta prostokątnego.

Na podstawie rysunku 5 można napisać taki oto wzór ogólny na funkcję opisującą przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego:

Równanie [21] [21]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot x+y_1-\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot x_1=0

I w końcu wzór na moment dewiacji trójkąta prostokątnego Ixy:
Równanie [22] [22]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{XY}=\int_{x_1}^{x_2}dx\int_{y_1}^{\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot x+y_1-\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot x_1}\xcdot y\, dy

Rozpisanie i wyprowadzenie jest dość żmudne, i nie będę się już tutaj o tym rozpisywał, podam tylko rozwiązanie które jest następujące:

Równanie [23] [23]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{XY}=\frac{\left( 6\,{x_1}^{2}\,{x_2}^{2}-12\,{x_1}^{3}\,x_2+5,{x_1}^{4}\right) \,{y_2}^{2}+\left( 4\,{x_1}^{3}\,x_2-2\,{x_1}^{4}\right) \,y_1\,y_2+\left( -6\,{x_1}^{2}\,{x_2}^{2}+8\,{x_1}^{3}\,x_2-3\,{x_1}^{4}\right) \,{y_1}^{2}}{24\,{x_2}^{2}-48\,x_1\,x_2+24\,{x_1}^{2}}

Prawda, że piękny. Teraz obliczyć należy współrzędne punktów trójkątnej części figury płaskiej z zadania 10 z strony Mechanika techniczna → Statyka → Wyznaczanie środków ciężkości:

Równanie [24] [24]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x_1=-2\frac{2}{19}+4=1\frac{17}{19}[cm]

Równanie [25] [25]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

y_1=1\frac{1}{2}+4-2\frac{15}{38}=3\frac{2}{19}[cm]

Równanie [26] [26]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x_2=-2\frac{2}{19}[cm]

Równanie [27] [27]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

y_2=4-2\frac{15}{38}=1\frac{23}{38}[cm]

Ostatecznie więc, podstawiając do wzoru [23] uzyskujemy moment bezwładności:

Równanie [28] [28]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{XY}=-\frac{\left( 6\,{x_1}^{2}\,{x_2}^{2}-12\,{x_1}^{3}\,x_2+5\,{x_1}^{4}\right) \,{y_2}^{2}+\left( 4\,{x_1}^{3}\,x_2-2\,{x_1}^{4}\right) \,y_1\,y_2+\left( -6\,{x_1}^{2}\,{x_2}^{2}+8\,{x_1}^{3}\,x_2-3\,{x_1}^{4}\right) \,{y_1}^{2}}{24\,{x_2}^{2}-48\,x_1\,x_2+24\,{x_1}^{2}}\approx 4.04553573\left[cm^4\right]

To jeszcze nie koniec, obliczony moment bezwładności [28] trzeba podstawić do równania [20] w następujący sposób:

Równanie [29] [29]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{XY}\approxfrac{240}{361}+4.04553573\approx 4.710355675\left[cm^4\r^2\right]

A teraz wzory na momenty bezwładność względem osi, które dają najmniejszy i największy moment bezwładności:

Równanie [30] [30]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{U}=I_{X}\cdot \cos^2\alpha+I_{Y}\cdot \sin^2\alpha-I_{XY}\cdot \sin( 2\cdot \alpha)

Równanie [31] [31]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{V}=I_{Y}\cdot \cos^2\alpha+I_{X}\cdot \sin^2\alpha+I_{XY}\cdot \sin( 2\cdot \alpha)

Tajemniczy kąt alfa należy wyliczyć najsamprzód z następującej zależności:

Równanie [32] [32]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\tan(2\cdot \alpha)=\frac{2\cdot I_{XY}}{I_Y-I_X}

Wyliczenie kąta alfa:

Równanie [33] [33]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\alpha = \frac{1}{2}\cdot \arctan\left(\frac{2\cdot I_{XY}}{I_Y-I_X}\right)=-18.64^o

Pozostało obliczenie momentów bezwładności IU oraz IV:

Równanie [34] [34]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{U} = 39.08671349\left[cm^4\right]

Równanie [35] [35]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{V} = 23.53388651\left[cm^4\right]

Zadanie 6

Obliczyć moment bezwładności figury płaskiej z zadania 11 z strony Mechanika techniczna → Statyka → Wyznaczanie środków ciężkości względem osi X przechodzącej przez środek ciężkości, którego odległość od podstawy została obliczona we wcześniej już wspomnianym zadaniu 11.

Równanie [36] [36]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{X}=\frac{6\cdot 4^3}{12}+6\cdot 4\cdot left( y_c-2\right)^2-0.11\cdot 1^4-frac{1}{2}\cdot \pi\cdot 1^2\cdot \left(y_c - \frac{4\cdot 1}{3\cdot pi}\right)^2-\frac{2\cdot 1^3}{36}-\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot 1+3-y_c\right)^2-2\cdot \frac{\pi \cdot \left(frac{1}{2}\right)^4}{4}-2\cdot \pi\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot \left(y_c-2)^2=24.14\left[ cm^4\right]

Zadanie 7

Obliczyć moment bezwładności figury płaskiej z zadania 12 z strony Mechanika techniczna → Statyka → Wyznaczanie środków ciężkości względem osi X przechodzącej przez środek ciężkości, którego odległość od podstawy została obliczona we wcześniej już wspomnianym zadaniu 12.

Równanie [37] [37]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_{X}=-0.11\cdot \left(1\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}\cdot \pi\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot \left(y_c-\frac{4\cdot \left(1\frac{1}{2}\right)^2}{3\cdot \pi}\right)+\frac{6\cdot 3^3}{12}+6\cdot 3\cdot \left(y_c-1\frac{1}{2}\right)^2+\frac{2\cdot \left(2\frac{1}{2}\right)^3}{12}+2\cdot 2\frac{1}{2}\cdot \left(y_c-3-\frac{2\frac{1}{2}}{2}\right)^2+\frac{6\cdot 2^3}{12}+6\cdot 2\cdot \left(6\frac{1}{2}-y_c\right)^2+\frac{6cdot 3^3}{12}+\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3\cdot \left(\frac{1}{3}\cdot 3+7\frac{1}{2}-y_c\right)^2\approx 317,32\left[cm^4\right]

Komentarze