Całki potrójne - obliczanie objętości
Stronę tą wyświetlono już: 5555 razy
Zadanie 1 Wyprowadzić wzór na objętość kuli.
Rozwiązanie:
Objętość elementarnego wycinka kuli dV można zapisać wzorem:
gdzie:
- r⋅dθ - długość elementarnego wycinka kuli;
- r⋅cosθ⋅dα - szerokość elementarnego wycinka kuli;
- dr - wysokość elementarnego wycinka kuli.
Granice całkowania:
Wyznaczenie wzoru na objętość V kuli:
Zadanie 2 Wyznaczyć wzór na objętość stożka o podanej wysokości H i promieniu podstawy R.
Rozwiązanie:
Elementarna objętość dV:
gdzie:
- r⋅dα - szerokość elementarnego wycinka stożka;
- dr - długość elementarnego wycinka stożka;
- dz - wysokość elementarnego wycinka stożka.
Zależność promienia r od jego położenia na osi z oraz wysokości H i promienia podstawy R stożka:
Granice całkowania:
Wyprowadzenie wzoru na objętość V stożka:
Zadanie 3 Wyznaczyć wzór na objętość stożka ściętego o danej wysokości H i promieniach RD, RG.
Rozwiązanie:
Objętość dV elementarnego wycinka stożka ściętego:
Zależność promienia r od jego położenia na osi z oraz od wysokości H i promieni RD, RD stożka ściętego:
Granice całkowania:
Wyprowadzenie wzoru na objętość V stożka ściętego:
Zadanie 4 Obliczyć objętość bryły ograniczonej od dołu funkcją:
zaś od góry funkcją:
nad obszarem całkowania 0≤x≤4 oraz 0≤y≤2.

Rozwiązanie:
Przedziały całkowania:
Obliczenie objętości V:
Zadanie 5 Obliczyć objętość walca o promieniu R=1 ściętego od dołu funkcją:
zaś od góry funkcją:
Przedziały całkowania w współrzędnych kartezjańskich:
Jak widać nie zanosi się na łatwe obliczenia, chyba że zamieni się współrzędne kartezjańskie na walcowe. W tym celu warto zapisać zależność funkcyjną współrzędnych x, y, z od współrzędnych walcowych r, α, z:
Ogólny wzór na jakobian przekształcenia:
![]() | [1] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
J(u,v,w)=\begin{vmatrix} c\frac{\partial x}{\partial u} && \cfrac{\partial x}{\partial v} & \cfrac{\partial x}{\partial w}\\ \cfrac{\partial y}{\partial u} && \cfrac{partial y}{partial v} & cfrac{partial y}{partial w}\\ \cfrac{\partial z}{\partial u} & \cfrac{\partial z}{\partial v} & \cfrac{\partial z}{\partial w} \end{vmatrix}
W tym przypadku u=r, v=α, w=z, w związku z czym jakobian dla współrzędnych walcowych przyjmuje następującą postać:
![]() | [2] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
J(r,alpha,z)=\begin{vmatrix}\cfrac{\partial x}{\partial r} && \cfrac{\partial x}{\partial \alpha} && \cfrac{\partial x}{\partial z}\\ \cfrac{\partial y}{\partial r} && \cfrac{\partial y}{\partial \alpha} && \cfrac{\partial y}{\partial z}\\ \cfrac{\partial z}{\partial r} && \cfrac{\partial z}{\partial \alpha} && \cfrac{\partial z}{\partial z}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \cos\alpha && -rcdotsinalpha && 0\\ \sin\alpha && r\cdot\cos\alpha && 0\\ 0 && 0 && 1 \end{vmatrix}=r\cdot\cos^2\alpha+r\cdot\sin^2\alpha=r
Wzór na zamianę całki w jednym układzie współrzędnych na całkę w drugim układzie współrzędnych:
![]() | [3] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
intintint_Omega f(x,y,z),dx,dy,dz=intintint_U f(u,v,w)cdot J(u,v,w),du,dv,dw
w tym przypadku funkcja gęstości nas nie interesuje tylko objętość V ściętego walca więc wartość owej funkcji musi się równać 1 a co za tym idzie również funkcja f(u,v,w)=1.
Przedziały całkowania w układzie współrzędnych sferycznych:
W ostatnim przedziale całkowania dla zmiennej z należy podstawić za x funkcję x(r, α, z), za y funkcję x(r, α, z):
Rozwiązanie:
Zadanie 6 Obliczyć objętość walca o promieniu R=1 ściętego od dołu funkcją:
zaś od góry funkcją:
Na rysunku 5 można obejrzeć wykres funkcji g(x,y), f(x,y).

Rozwiązanie:
Przedziały całkowania we współrzędnych walcowych:
Po uproszczeniu granic całkowania dla zmiennej z:
Obliczenie objętości V: