Całki podwójne - obliczanie pól powierzchni i objętości

Stronę tą wyświetlono już: 2162 razy

Zadanie 1 Obliczyć pole powierzchni figury płaskiej ograniczonej od dołu funkcją

f(x)=x^2-1

oraz od góry funkcją

g(x)=-x^4+1

w przedziale od -1 do 1.

Rozwiązanie:

Na podstawie wykresu pokazanego na rysunku 1 funkcji f(x), g(x) można a nawet trzeba zapisać wzór na pole powierzchni figury zawartej pomiędzy tymi funkcjami w następujący sposób:

int_{-1}^1dxint_{f(x)}^{g(x)},dy=int_{-1}^1,dxint_{x^2-1}^{-x^4+1},dy=int_{-1}^1,dxcdot [y]_{x^2-1}^{-x^4+1}=int_{-1}^1left(-x^4+1-x^2+1
ight),dx=left[-frac{1}{5}cdot x^5-frac{1}{3}cdot x^3+2cdot x
ight]_{-1}^{1}=-frac{1}{5}-frac{1}{3}+2-frac{1}{5}-frac{1}{3}+2=2frac{14}{15}left[j^2
ight]

Konstrukcja rozwiązywania tego typu zadań za pomocą całek podwójnych doprowadza do takiego samego rozwiązania jak w przypadku zastosowania różnicy pól powierzchni całek z funkcji f(x), g(x).

Wykres funkcji <b>f(x)</b>, <b>g(x)</b> w przedziale od <b>-1</b> do <b>1</b>.
Rys. 1
Wykres funkcji f(x), g(x) w przedziale od -1 do 1.

Zadanie 2 Obliczyć pole powierzchni figury płaskiej ograniczonej od dołu funkcją

f(x)=-x^2

oraz od góry funkcją

g(x)=x

w przedziale od 0 do 1.

Wykres funkcji <b>f(x)</b>, <b>g(x)</b> w przedziale od <b>0</b> do <b>1</b>.
Rys. 2
Wykres funkcji f(x), g(x) w przedziale od 0 do 1.

Rozwiązanie:

int_0^1,dxint_{f(x)}^{g(x)},dy=int_0^1,dxint_{-x^2}^{x},dy=int_0^1, dx cdot[y]_{-x^2}^x=int_0^1left(x+x^2
ight),dx=left[frac{1}{2}cdot x^2+frac{1}{3}cdot x^3
ight]_0^1=frac{1}{2}+frac{1}{3}=frac{5}{6}left[j^2
ight]

Zadanie 3 Wyprowadzić wzór na pole powierzchni wycinka okręgu o danym promieniu R i kącie α.

Rysunek pomocniczy do zadania 3
Rys. 3
Wycinek okręgu z ważnymi dla wyprowadzenia wzoru wielkościami fizycznymi.

Rozwiązanie:

Elementarne pole powierzchni dF można zapisać w następujący sposób:

dF=rcdot dPhicdot dr

gdzie:

  • r - elementarna długość łuku elementarnego pola powierzchni dF;
  • dr - elementarna szerokość elementarnego pola powierzchni dF.

Granice całkowania dla Φ:

0lePhilealpha

Granice całkowania dla r:

0le rle R

Wyprowadzenie wzoru:

P_p=int_0^{alpha}dPhiint_0^R r,dr=frac{1}{2}cdot R^2cdotint_0^alpha dPhi=frac{1}{2}cdot R^2cdot alpha

Zadanie 4 Obliczyć pole powierzchni części okręgu o promieniu R ściętej cięciwą jak na rysunku 19.

Rysunek pomocniczy do zadania 4
Rys. 4
Wycinek okręgu z ważnymi dla wyprowadzenia wzoru wielkościami fizycznymi.

Rozwiązanie:

Górną granicę stanowi promień R okręgu, zaś dolną granicę opisuje zależność:

r=frac{a}{sinphi}

wartość a można wyznaczyć w następujący sposób:

frac{a}{R}=sinalpha Rightarrow a=Rcdot sinalpha

ostatecznie więc dolna granica całkowania dana jest zależnością:

r=frac{Rcdot sinalpha}{sinphi }

Jeszcze tylko uzależnienie wartości kąta α od kąta β:

alpha = frac{pi - eta}{2}

oraz opis granic całkowania dla kąta Φ:

alpha leqphi leq pi - alpha

i można przystąpić do wyznaczenia pola powierzchni wycinka okręgu:

P_p=int_{alpha}^{pi - alpha}dphi int_{frac{Rcdot sinalpha}{sinphi}}^{R}r, dr=frac{1}{2}cdotint_{alpha}^{pi - alpha}left(R^2-frac{R^2cdot sin^2alpha}{sin^2phi}
ight)dphi=frac{1}{2}cdot R^2cdot left( pi-2cdot alpha
ight)-frac{1}{2}cdot R^2cdot sin^2alphacdotint_{alpha}^{pi -alpha}frac{dphi}{sin^2phi}=frac{1}{2}cdot R^2cdot left(pi-2cdot alpha 
ight)+frac{1}{2}cdot R^2cdot sin^2alpha cdotfrac{cos alpha}{sinalpha}=frac{1}{2}cdot R^2left[ pi-2cdot alpha+sin^2alpha cdot frac{cosleft(pi-alpha
ight)}{sinleft(pi-alpha
ight)}-sinalphacdot cosalpha
ight]

Zadanie 5 Wyznaczyć wzór na pole powierzchni pod wykresem spirali Archimedesa w zakresie kąta φ od 0 do 2π i o danej wartości promienia Rmax.

Rysunek pomocniczy do zadania 4
Rys. 5
Spirala Archimedesa z ważnymi dla wyprowadzenia wzoru wielkościami fizycznymi.

Rozwiązanie:

Na rysunku 5 rozpisane zostały wszystkie informacje niezbędne do obliczenia pola powierzchni zawartego pod wykresem spirali Archimedesa, więc bez zbytnich ceregieli wyprowadzenie wzoru jest następujące:

P_p=int_0^{2cdot pi},dphiint_{0}^{frac{R_{max}}{2cdot pi}cdotphi}r,dr=int_0^{2cdotpi},dphicdotleft[frac{1}{2}cdot r^2
ight]_0^{frac{R_{max}}{2cdotpi}cdotphi}=frac{{R_{max}}^2}{8cdotpi^2}cdotint_0^{2cdotpi}phi^2,dphi=frac{{R_{max}}^2}{8cdotpi^2}cdotfrac{1}{3}cdotleft[phi^3
ight]_0^{2cdotpi}=frac{{R_{max}}^2}{8cdotpi^2}cdotfrac{1}{3}cdot8cdotpi^3=frac{1}{3}cdot {R_{max}}^2cdotpi

Zadanie 6 Obliczyć objętość bryły ograniczonej od góry funkcją h(x,y) od dołu zerem nad obszarem całkowania znajdującym się pomiędzy wykresem funkcji

f(x)=2cdot x

a wykresem funkcji

g(x)=x+frac{1}{2}

w przedziale 0.5 do 3.5.

Wykres funkcji <b>f(x)</b>, <b>g(x)</b> w przedziale od <b>0.5</b> do <b>3.5</b>.
Rys. 6
Wykres funkcji f(x), g(x) w przedziale od 0.5 do 3.5.

Funkcja h(x,y) ma następującą postać:

h(x,y)=x+frac{1}{3}cdot y

a jej wykres można obejrzeć na poniższym rysunku.

Wykres funkcji <b>h(x,y)</b>.
Rys. 7
Wykres funkcji h(x,y).

Rozwiązanie:

Objętość bryły nad obszarem całkowania obliczyć można w następujący sposób:

V=int_frac{1}{2}^{3frac{1}{2}},dxint_{x+frac{1}{2}}^{2cdot x}left(x+frac{1}{3}cdot y
ight),dy=_int_frac{1}{2}^{3frac{1}{2}},dxcdot left[xcdot y+frac{1}{6}cdot y^2
ight]_{x+frac{1}{2}}^{2cdot x}=int_frac{1}{2}^{3frac{1}{2}}left[xcdot 2cdot x+frac{1}{6}cdot 4cdot x^2-xcdotleft(x+frac{1}{2}
ight)-frac{1}{6}cdotleft(x+frac{1}{2}
ight)^2
ight]dx=int_frac{1}{2}^{3frac{1}{2}}left(1frac{1}{2}cdot x^2-frac{2}{3}cdot x-frac{1}{24}
ight),dx=left[frac{1}{2}cdot x^3-frac{1}{3}cdot x^2-frac{1}{24}cdot x
ight]_frac{1}{2}^{3frac{1}{2}}=21frac{7}{16}-4frac{1}{12}-frac{7}{48}-frac{1}{16}+frac{1}{12}+frac{1}{48}=17frac{1}{4}left[j^3
ight]

Zadanie 7 Obliczyć objętość bryły ograniczonej od dołu funkcją:

f(x,y)=0

zaś od góry funkcją:

g(x,y)=x^2+y^2

po obszarze całkowania od x=-2 do x=2 oraz od y=-2 do y=2.

Wykres funkcji <b>g(x,y)</b>.
Rys. 8
Wykres funkcji g(x,y).

Rozwiązanie:

V=int_{-2}^{2},dxint_{-2}^{2}left(x^2+y^2
ight),dy=int_{-2}^2dxcdotleft[x^2cdot y+frac{1}{3}cdot y^3
ight]_{-2}^2=int_{-2}^2left(2cdot x^2+2frac{2}{3}+2cdot x^2+2frac{2}{3}
ight),dx=int_{-2}^2left(4cdot x^2+5frac{1}{3}
ight),dx=left[1frac{1}{3}cdot x^3+5frac{1}{3}cdot x
ight]_{-2}^2=10frac{2}{3}+10frac{2}{3}+10frac{2}{3}+10frac{2}{3}=42frac{2}{3}left[j^3
ight]

Zadanie 8 Oblicz objętość bryły nad powierzchnią znajdującą się pomiędzy okręgiem danym równaniem:

x^2+y^2=1

a okręgiem opisanym równaniem:

x^2+y^2=4

której dolna granica znajduje się w płaszczyźnie XY natomiast górną opisuje funkcja:

f(x,y)=sqrt{x^2+y^2}

Obszar całkowania jak z resztą widać na rysunku 9 jest łatwo opisać w współrzędnych biegunowych, zaś trudno w współrzędnych kartezjańskich.

Wykres obszaru całkowania.
Rys. 9
Wykres obszaru całkowania.

Z kolei funkcja podcałkowa f(x,y) jest zapisana we współrzędnych kartezjańskich 3W. Powstaje więc swego rodzaju konflikt pomiędzy jednym a drugim typem układu współrzędnych.

Wykres funkcji będącej górną granicą całkowania.
Rys. 10
Wykres funkcji będącej górną granicą całkowania.

Istnieje na szczęście pewna metoda umożliwiająca odwzorowanie funkcji f(x,y) w układzie współrzędnych biegunowych pod warunkiem, że:

  1. funkcja f(x,y) jest całkowalna w obszarze Ω;
  2. istnieją funkcje x(u,v), y(u,v), które są różniczkowalne w obszarze U
  3. jakobian przekształcenia J obszaru Ω w obszar U wyliczany w następujący sposób:
    Równanie [1] [1]

    Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

    J=\begin{vmatrix}\cfrac{\partial x}{\partial u} & \cfrac{\partial x}{\partial v}\\ \cfrac{\partial y}{\partial u} & \cfrac{\partial y}{\partial v} \end{\vmatrix}

    ma wartość różną od zera.

    w wzorze [1]:

    frac{partial x}{partial r} (czyt. pochodna cząstkowa funkcji x po zmiennej r) pochodna cząstkowa funkcji x(r,α) po zmiennej r.
    frac{partial x}{partial alpha} pochodna cząstkowa funkcji x(r,α) po zmiennej α.
    frac{partial y}{partial r} pochodna cząstkowa funkcji y(r,α) po zmiennej r.
    frac{partial y}{partial alpha} pochodna cząstkowa funkcji y(r,α) po zmiennej α.

W wyżej wymienionych warunkach możliwe jest zastosowanie następującego wzoru ogólnego:

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\int\int_\Omega f(x,y)\,dx\,dy=\int\int_U f(u,v)\cdot J(u,v,w)\,du\,dv

dla współrzędnych biegunowych funkcje x(r, α), y(r, α) przyjmują następującą postać:

Równanie [3] [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x(r,\alpha)=r\cdot\cos\alpha

Równanie [4] [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

y(r,\alpha)=r\cdot\sin\alpha

zaś jakobian przekształcenia można wyliczyć wykorzystując z zależności [1] w następujący sposób:

Równanie [5] [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

J(r,\alpha)=\begin{vmatrix}\cfrac{\partial x}{\partial r} & \cfrac{\partial x}{\partial \alpha}\\ \cfrac{\partial y}{\partial r} & \cfrac{\partial y}{\partial \alpha} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\cos\alpha & -r\cdot\sin\alpha\\ \sin\alpha & r\cdot \cos\alpha \end{vmatrix}=r\cdot\cos^2\alpha+r\cdot\sin^2\alpha=r

Pozostała zamiana funkcji f(x,y) na funkcję f(r,α):

f(r,alpha)=sqrt{r^2cdotcos^2alpha+r^2cdotsin^2alpha}=r

Teraz można przystąpić do rozwiązania zadania zgodnie z wzorem [2]:

int_0^{2cdot pi},dalphaint_1^2rcdot J,dr=int_0^{2cdot pi}dalphaint_1^2r^2,dr=int_0^{2cdotpi},dalphacdotleft[frac{1}{3}cdot r^3
ight]_1^2=2frac{1}{3}cdotint_0^{2cdotpi}dalpha=2frac{1}{3}cdotleft[alpha
ight]_0^{2cdotpi}=4frac{2}{3}cdotpileft[j^3
ight]

Bryła, której objętość właśnie obliczono jest walcem o promieniu 2, wysokości 2 z wyciętym otworem o promieni 1 i stożkiem o promieniu 2 o wysokości 2.

Zadanie 9 Obliczyć objętość bryły nad i pod obszarem opisanym równaniem okręgu:

x^2+y^2=9

leżącym w płaszczyźnie XY i ograniczonych funkcją

f(x,y)=x

Obszar ograniczający jest okręgiem o promieniu r=3

Wykres obszaru całkowania.
Rys. 11
Wykres obszaru całkowania.

zaś funkcja f(x,y) jest płaszczyzną przecinającą oś y pod kątem 45° w stosunku do płaszczyzny xy.

Funkcja <b>f(x,y)</b>.
Rys. 12
Funkcja f(x,y).

Rozwiązanie:

Dla lepszego poglądu, warto naszkicować kształt bryłki, której objętość V należy obliczyć. Z rysunku 12 wynika jednoznacznie, że połowa objętości bryły znajduje się nad płaszczyzną XY w związku z czym całka po całym obszarze będzie równa zero (część objętości znajdującej się poniżej płaszczyzny XY przyjmie ujemną wartość), aby obliczyć objętość V należy ograniczyć obszar całkowania do części bryłki znajdującej się nad płaszczyzną XY. W ten jakże przebiegły sposób obliczona zostanie połowa objętości całej bryły.

Rysunek pomocniczy do zadania 3
Rys. 13
Szkic bryłki.

Po raz kolejny należy zastosować mechanizm z zadania 8 w celu zamiany funkcji f(x,y) w funkcję f(r,α) i zastosowania wzoru [9]. Zanim jednak to się stanie warto rozpisać granice obszaru całkowania:

0le rle3

-frac{pi}{2}le alphalefrac{pi}{2}

Zamiana funkcji f(x,y) w funkcję f(r,α):

f(r,alpha)=rcdotcosalpha

Jakobian przekształcenia:

J=r

Podstawienie do wzoru [2]:

frac{V}{2}=int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}},dalphaint_0^3rcdotcosalphacdot J,dr=int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}},dalphaint_0^3r^2cdotcosalpha,dr=int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}}cosalpha,dalphacdotleft[frac{1}{3}cdot r^3
ight]_0^3=9cdotleft[sinalpha
ight]_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}}=18left[j^3
ight]Rightarrow V=36left[j^3
ight]

Zadanie 10 Obliczyć pole powierzchni funkcji

f(x,y)=4cdot x+y

dla x z przedziału <0,2>, oraz dla y z przedziału <0,2>.

Funkcja <b>f(x,y)</b> w przedziale całkowania.
Rys. 14
Funkcja f(x,y) w przedziale całkowania.

Obliczenie pola powierzchni funkcji f(x,y) umożliwia następujący wzór:

Równanie [6] [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_p=\int\int_{\Omega}\sqrt{1+\left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\right)^2}\,dx\,dy

gdzie:

frac{partial f(x,y)}{partial x} (czyt. pochodna cząstkowa funkcji f(x,y) po zmiennej x) pochodna cząstkowa funkcji f(x,y) po zmiennej x.
frac{partial f(x,y)}{partial y} pochodna cząstkowa funkcji f(x,y) po zmiennej y.

Rozwiązanie:

P_p=int_0^2dxint_0^2sqrt{1+4^2+1^2},dy=3cdotsqrt{2}cdotint_0^2dxcdot[y]_0^2=6cdotsqrt{2}cdot[x]_0^2=12cdotsqrt{2}left[j^2
ight]

Komentarze