Podstawowe wzory

Stronę tą wyświetlono już: 515 razy

Wyznaczanie długości łuku funkcji f(x).

Wzór na długość łuku funkcji |L| = całke od a do b z pierwiastka z (f'(x) ^ 2) po dx [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

|L|=\int_a^b\sqrt{1+\left[f'(x)\right]^2}\,dx

Przykład

Oblicz długość łuku funkcji

f(x)=frac{1}{2}cdot x^2

opisującej długość linii przekroju kadłuba statku w przedziale od -2 do 2.

Rozwiązanie:

Funkcja podcałkowa, która powstała po podstawieniu do wzoru [1] zadanej funkcji została już rozwiązana w dziale Matematyka: Całki oznaczone: Obliczanie całek z funkcji niewymiernych w zadaniu 14. Z tego względu w niniejszym miejscu nie rozpisuje się z opisem całego rozwiązania powstałej funkcji podcałkowej.

int_{-2}^{2}sqrt{1+left[frac{1}{2}cdot 2cdot xright]^2},dx=int_{-2}^2sqrt{1+x^2},dx=left[frac{1}{2}cdot xcdotsqrt{x^2+1}+frac{1}{2}cdotlnleft|x+sqrt{x^2+1}right|right]_{-2}^2=frac{1}{2}cdot 2cdotsqrt{2^2+1}+frac{1}{2}cdotlnleft|2+sqrt{2^2+1}right|-frac{1}{2}cdot (-2)cdotsqrt{(-2)^2+1}-frac{1}{2}cdotlnleft|(-2)+sqrt{(-2)^2+1}right|=sqrt{5}+0.722+sqrt{5}+0.722=5.916

Wyznaczanie objętości bryły powstałej z obrotu figury zawartej między wykresem funkcji f(x) a osią x względem tejże osi.

Wzór na objętość bryły powstałej z obrotu figury między wykresem funkcji f(x) a osią x [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\pi\int_a^b\left[f(x)\right]^2\,dx

Przykład

Obliczyć pojemność naczynia, którego kształt wewnętrznej ścianki jest opisany następującą funkcją:

f(x)=sqrt{x^2+1}

w przedziale od 0 do 4. Jako jednostkę przyjąć cm.

Rozwiązanie:

picdotint_0^4left(sqrt{x^2+1}right)^2,dx=picdotint_0^4 x^2,dx+picdotint_0^4,dx=picdot left[frac{1}{3}cdot x^3+xright]_0^4=picdotleft(frac{1}{3}cdot 4^3+4right)=25frac{1}{3}cdot pi=33.9left[cm^3right]

Wyznaczanie pola powierzchni powstałej z obrotu krzywej f(x) względem osi x.

Wzór na pole powierzchni bocznej bryły powstałej z obrotu krzywej f(x) względem osi x [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_b=2\cdot\pi\cdot\int_a^b\left|f(x)\right|\cdot \sqrt{1+\left[f'(x)\right]^2}\,dx

Przykład

Obliczyć pole powierzchni wewnętrznej naczynia opisanej funkcją

f(x)=x

w przedziale od 0 do 2, jako jednostkę obrać cm.

Rozwiązanie:

2cdotpiint_0^2xcdotsqrt{1+left[1right]^2},dx=2cdotpicdotsqrt{2}cdotleft[frac{1}{2}cdot x^2right]_0^2=picdot 4cdotsqrt{2}=17.772left[cm^2right]

Komentarze