Wykresy momentów gnących i sił tnących w belekach statycznie niewyznaczalnych

Stronę tą wyświetlono już: 3926 razy

Rozwiązywanie belek statycznie niewyznaczalnych metodą energetyczną zgodnie z zasadą najmniejszej pracy. W celu wyznaczenia energii sprężystego odkształcenia belki konieczne jest zastosowanie równania Castigliano wyznaczającego strzałkę ugięcia belki pod wpływem sił odkształcających:

gdzie:

  • fi - strzałka ugięcia belki
  • dU - pochodna energii sprężystej
  • dP - pochodna siły

Korzystając z równania [1] można napisać następujące równanie energii sprężystej dowolnej belki:

Zadanie 1

Wyznaczyć reakcje belki jednokrotnie statycznie niewyznaczalnej z rysunku 1.

Rysunek belki statycznie niewyznaczalnej do zadania 1.
Rys. 1
Belka statycznie niewyznaczalna.

Dane:

l=1[m]; P=1[kN]

Rozwiązanie:

Jak widać na załączonym rysunku, to już nie przelewki, to już jest prawdziwa belka statycznie niewyznaczalna są trzy podpory, możliwe jest ułożenie dwóch "pożytecznych" równań statycznych, i brakuje oczywiście jednego równania do pełni szczęścia. Zanim ułożę to równanie, najpierw stare dobre równania równowagi:

Ostatnie równanie wymaga rozpisania funkcji momentów gnących M(x) dla poszczególnych przedziałów, oraz pochodnych tej funkcji po reakcji obranej jako statycznie niewyznaczalna, która musi znajdować się na krańcu lewej lub prawej strony belki, ja obrałem jako statycznie niewyznaczalną reakcje Ray. Należy pamiętać również, że wszystkie niewiadome w równaniu, należy zastąpić ich zależnością od reakcji obranej jako statycznie niewyznaczalną.

Przedział 1

0leq x_1leq frac{1}{2}

No to liczymy pierwszą część równania energii sprężystej belki:

Przedział 2

frac{1}{2}leq x_2leq 1

Przedział 3

1leq x_3leq 2

Teraz właśnie do równania M(x3) należy za reakcję Rby podstawić z równania [4] w następujący sposób:

Przyjmując, że belka jest wykonana z jednorodnego metalu oraz ma taki sam przekrój na całej długości, współczynnik znajdujący się przed całką z równania [2] można pominąć. Dla liczonej belki statycznie niewyznaczalnej należy zsumować wszystkie równania uzyskane dla poszczególnych przedziałów belki, i otrzymaną w ten sposób sumę przyrównać do zera.

Znając wartość reakcji Ray można obliczyć reakcję Rby:

Znając wartość reakcji Ray i Rby można obliczyć reakcję Rcy:

Pozostało obliczenie wartości po przedziałach dla wykresów momentów gnących i sił skręcających.

Przedział 1

Przedział 2

Przedział 3

Wykresy

Wykresy momentów gnących i sił tnących.
Rys. 2
Wykresy momentów gnących i sił tnących.

Zadanie 2

Wyznaczyć reakcje belki dwukrotnie statycznie niewyznaczalnej z rysunku 3.

Belka dwukrotnie statycznie niewyznaczalna do zadanie 3.
Rys. 3
Belka dwukrotnie statycznie niewyznaczalna.

Dane:

l=1[m]; P=1[kN]

Rozwiązanie:

Układy równań statycznej równowagi:

Należy obrać dwie reakcje statycznie niewyznaczalne, w tym przypadku wybrane zostały przeze mnie reakcje Ray oraz Rby. W pierwszej kolejności należy rozpisać równanie energetyczne dla reakcji Rby ponieważ leży ona pomiędzy podporami a oraz b. Jedyne dopuszczalne niewiadome w równaniu energetycznym dla reakcji Rby jest reakcja tejże podpory i reakcja Ray, wszystkie pozostałe niewiadome reakcje muszą zostać uzależnione od reakcji Rby, aby możliwe było otrzymanie poprawnego rozwiązania.

Układanie trzeciego równania dla reakcji Rby.

Przedział 3

Dlaczego od przedziału trzeciego? Ponieważ w równaniach M(x2) i M(x1) nie występuje Rby, więc pochodna po tej reakcji będzie równa zero, a co za tym idzie nie ma sensu ich rozpisywanie.

1leq x_3leq 2

Przedział 4

2leq x_4leq 3

Sumowanie równań [27] oraz [30]:

Równanie [21] należy podstawić do równania [22]:

Układanie czwartego równania dla reakcji Ray.

Przedział 1

0leq x_1leq frac{1}{2}

Przedział 2

frac{1}{2}leq x_2leq 1

Przedział 3

1leq x_3leq 2

Przedział 4

2leq x_4leq 3<

Sumę wyrażeń [35], [38], [41] oraz [44] należy przyrównać do zera i wyznaczyć wartość reakcji Ray:

Znając Ray można wyznaczyć Rby:

Znając Ray oraz Rby można wyznaczyć Rcy:

Znając Ray, Rby i Rdy można wyznaczyć Rdy:<

Obliczenia funkcji M(x) i T(x) po poszczególnych przedziałach.

Przedział 1

Przedział 2

Przedział 3

Przedział 4

Wykresy.

Wykresy momentów gnących i sił tnących belki dwukrotnie statycznie niewyznaczalnej do zadanie 76.
Rys. 4
Wykresy momentów gnących i sił tnących belki dwukrotnie statycznie niewyznaczalnej.

Zadanie 3

Wyznaczyć reakcje belki jednokrotnie statycznie niewyznaczalnej z rysunku 5.

Rysunek belki statycznie niewyznaczalnej do zadania 3.
Rys. 5
Belka statycznie niewyznaczalna.

Dane:

l_1=0.6[m]; l_1=0.6[m]; l_3=0.8[m]; q=0.8left[frac{kN}{m}\right]; P=2.4[kN]; M=-1[kNm]

Rozwiązanie:

Jest to najłatwiejszy przypadek zadania z belką statycznie niewyznaczalną z dwóch powodów: po pierwsze funkcje M(x1) oraz M(x2) nie zawierają reakcji Ray więc pochodna po tejże reakcji tychże funkcji będzie równa zero, ergo można te dwa przedziały pominąć w obliczeniach; po drugie reakcje utwierdzenia znajdują się na końcu belki w związku z tym nie trzeba będzie podstawiać (tak jak trzeba było to robić w poprzednich zadaniach) ponieważ jedyną niewiadomą w równaniu energetycznym będzie reakcja obrana za statycznie niewyznaczalną (czyli Ray).

Reakcje utwierdzenia Rby oraz Mu "wyjdą" przy okazji sporządzania wykresów momentów gnących i sił tnących belki, więc można darować sobie rozpisywanie równań równowagi i zabrać się za napisanie równania energetycznego.

Przedział 3

1.2leq x_3leq 2

Wystarczy jedynie przyrównać otrzymaną wartość [60] do zera i wyznaczyć reakcję Ray i będzie można zabrać się za sporządzanie funkcji momentów gnących i sił tnących.

Równania momentów gnących i sił tnących.

Przedział 1

0leq x_1leq 0.6

Położenie maksimum lub minimum lokalnego:

Określanie, czy w wyliczonym punkcie znajduje się maksimum czy minimum lokalne:

W wyliczonym punkcie znajduje się maksimum globalne funkcji M(x1).

Przedział 2

Przedział 3

1.2leq x_3leq 2

Sporządzanie wykresów.

Wykresy momentów gnących i sił tnących belki dwukrotnie statycznie niewyznaczalnej do zadania 3.
Rys. 6
Wykresy momentów gnących i sił tnących belki jednokrotnie statycznie niewyznaczalnej.

Komentarze