Liczby zespolone

Stronę tą wyświetlono już: 185 razy

Podstawowe typy zapisów liczb zespolonych

Liczby zespolone są rozszerzeniem zbioru liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną. Innymi słowy, jeżeli miałbym określić czym jest liczba zespolona to jest ona wektorem, który przez wzgląd na swój charakter jest często zapisywany w następującej postaci algebraicznej:

algebraiczna postać zapisu liczb zespolonych [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

z=a+bi

gdzie:

  • a - część rzeczywista liczby zespolonej;
  • bi - część urojona liczby zespolonej

Istnieje również zapis związany z układem biegunowym:

z = a + bi = |z|cdotfrac{a}{|z|} + |z|cdotfrac{b}{|z|}i = |z|cdot(cos varphi + isin varphi) [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

z = a + bi = |z|\cdot\frac{a}{|z|} + |z|\cdot\frac{b}{|z|}i = |z|\cdot(\cos \varphi + i\sin \varphi)

gdzie:

  • φ - kąt zawarty pomiędzy osią liczb rzeczywistych a wektorem;
  • z - wektor liczby zespolonej;
  • |z| - moduł liczby zespolonej (długość wektora);
  • a - część rzeczywista liczby zespolonej;
  • bi - część urojona liczby zespolonej

Graficznie więc liczba zespolona będzie wyglądała tak, jak na poniższym rysunku.

Graficzna interpretacja liczby zespolonej
Rys. 1
Graficzna interpretacja liczby zespolonej

Zastosowanie liczb zespolonych

Główne dwa interesujące mnie zastosowania liczb zespolonych ograniczają się do zastosowania opisu zjawiska impedancji występującego w układach zasilanych prądem przemiennym sinusoidalnym, gdzie w wyniku zastosowanie różnych elementów takiego układu często występuje zjawisko przesunięcia fazowego funkcji napięcia u(t) względem funkcji natężenia prądu i(t). W elektrotechnice ze względów praktycznych jednostkę urojoną oznacza się literą j z tego względu, że i oznacza tam natężenie prądu elektrycznego.

Kolejnym zastosowaniem jest obróbka sygnałów cyfrowych, które oczywiście mogą opisywać dźwięk ale nie tylko. Okazuje się bowiem, że również i w dziedzinie fotografii i przechowywania obrazów (kompresja jpg) ma zastosowanie algorytm FFT oraz IFFT, który z kolei umożliwia optymalizację kompresji obrazu, eliminację szumów, podbijanie określonych częstotliwości dźwięku czy też i ich eliminacja.

Komentarze