Wyznaczanie środków ciężkości

Stronę tą wyświetlono już: 115400 razy

Środek ciężkości - punkt przyłożenia wypadkowej siły ciężkości lub punkt równowagi sił występujących w przekroju bryły poddawanej skręcaniu lub zginaniu.

Wyznaczenie środka ciężkości jest niekiedy możliwe z wykorzystaniem metody symetrii, która mówi że jeśli dane ciało ma oś symetrii, płaszczyznę symetrii lub punkt symetrii, to środek ciężkości leży na osi, płaszczyźnie oraz w punkcie symetrii.

a)b)c)d)

a)b)

Jeżeli dane ciało można podzielić na części, dla których w łatwy sposób można znaleźć (np. według zasady symetrii) współrzędne środka ciężkości to środek ciężkości takiego ciała można obliczyć korzystając z następującego wzoru:

[1]

gdzie:

• V_i - długość (dla odcinków); pole powierzchni (dla figur); objętość (dla brył) i-tego elementu składowego ciała, którego środek ciężkości jest liczony.
• P_i - położenie środka ciężkości elementu i-tego.

Jeżeli w danym ciele znajduje się pustka, możliwe jest wyznaczenie środka ciężkości tego ciała poprzez przyjęcie ujemnej wartości pola powierzchni lub objętości (w zależności od rodzaju obiektu) tejże pustki we wzorze [1].

Środek ciężkości trójkąta dowolnego

Przy okazji rozwiązywania zadania 2 z działu Układy przestrzenne statycznie wyznaczalne liczony był środek ciężkości płyty trójkątnej z użyciem wzoru na środek ciężkości trójkąta [2].

[2]

Środek ciężkości trójkąta dowolnego leży w odległości jednej trzeciej wysokości tego trójkąta licząc od boku, na który ta wysokość została spuszczona (rys 5). Powyższe stwierdzenie wynika właściwie z wzoru [2], aby tego dowieść należy przyjąć układ współrzędnych, dla którego oś X pokrywa się z danym bokiem trójkąta (jak na rysunku 5). W takim przypadku wzór [2] redukuje się dla współrzędnych Y-kowych do obliczenia jednej trzeciej wysokości tego trójkąta.

Ostatecznie więc uzyskuje się wzór na odległość środka ciężkości trójkąta dowolnego od dowolnego boku:

[3]

Wzory obliczeniowe

Istnieją wzory ogólne wyznaczające środek ciężkości brył, oraz figur płaskich. Wzory te mają następującą postać:

[4]

[5]

[6]

gdzie:

• ρ - gęstość, lub funkcja gęstości ciała (zazwyczaj przyjmuje się wartość 1);
• x, y, z - środek ciężkości elementarnej objętości V.

Licznik wzorów [4], [5] i [6] to statyczny moment ciała względem płaszczyzny układu współrzędnych XYZ. Mianownik to masa danego ciała (w zasadzie jest to objętość, ale przemnożona przez ρ daje oczywiście masę).

Zadanie 1

Wyznaczyć środek ciężkości trójkąta prostokątnego o wymiarach h na b.

Rozwiązanie:

[7]

[8]

gdzie:

• M_y - statyczny moment figury względem osi y układu współrzędnych

[9]

[10]

[11]

Dla osi x liczenie tego samego nie ma sensu, ponieważ x_c (przez analogię do obliczeń y_c) jest równe:

[12]

Zadanie 2

Wyznaczyć środek ciężkości wycinka okręgu o promieniu R kącie β i kącie położenia α.

Rozwiązanie:

Tym razem całkowanie biegunowe, coby się nie przemęczać za bardzo z obliczeniami:

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

Zadanie 3

Korzystając z wyprowadzonych wzorów [16], [17] wyznaczyć środek półokręgu z rysunku 8.

Rozwiązanie:

[18]

[19]

Zadanie 4

Wyprowadzić wzór na środek ciężkości okręgu ściętego cięciwą jak na rysunku 9.

Rozwiązanie:

Górna granica całkowania to R, natomiast dolna:

[20]

a można wyznaczyć z następującej zależności:

[21]

tak więc dolna granica całkowania wynosi:

[22]

należy wyznaczyć wartość kąta α w zależności od kąta β:

[23]

granice całkowania dla kąta Φ:

[24]

Teraz można już przejść do głównej części zadania:

[25]

[26]

[27]

Ponieważ x_c leży na osi y, nie ma sensu w tym przypadku liczyć dla niego środek ciężkości (zasada osi symetrii).

Zadanie 5

Obliczyć środek ciężkości przekroju belki z rysunku 10.

Rozwiązanie:

Rozwiązaniem będzie oczywiście całka po funkcji określającej krzywiznę przekroju belki:

[28]

[29]

Zadanie 6

Obliczyć środek ciężkości zbioru linii z rysunku 11.

Rozwiązanie:

środek ciężkości zbioru linii można wyznaczyć korzystając z wzoru [1], tak więc:

[30]

[31]

[32]

Zadanie 7

Obliczyć środek ciężkości figury płaskiej z rysunku 12 (należy skorzystać z wzoru [19] w celu określenia środka półokręgu).

Dane:

Rozwiązanie:

Figura płaska z rysunku 12 ma oś symetrii, dlatego też przyjąć można położenie układu współrzędnych, tak aby oś y przechodziła przez środek symetrii. W ten sposób zadanie sprowadza się do znalezienia położenia środka ciężkości tylko na osi Y.

[33]

Zadanie 8

Obliczyć środek ciężkości figury płaskiej z rysunku 13.

Dane:

Rozwiązanie:

[34]

Zadanie 9

Obliczyć środek ciężkości figury płaskiej z rysunku 14.

Dane:

Rozwiązanie:

[35]

Zadanie 10

Obliczyć środek ciężkości figury płaskiej z rysunku 15.

Rozwiązanie:

[36]

[37]

Zadanie 11

Obliczyć środek ciężkości figury płaskiej z rysunku 16.

Rozwiązanie:

[38]

Zadanie 12

Obliczyć środek ciężkości figury płaskiej z rysunku 17.

Rozwiązanie:

[39]

Zadanie 13

Wyznaczyć środek ciężkości stożka.

Rozwiązanie:

Należy znaleźć geometryczną zależność promienia r od promienia R, wysokości stożka H i położenia przekroju stożka z.

[40]

środek ciężkości stożka leży w odległości trzech czwartych jego wysokości licząc od wierzchołka.

Zadanie 14

Wyznaczyć środek ciężkości stożka ściętego.

Rozwiązanie:

Należy znaleźć geometryczną zależność promienia r od promieni R_D, R_G, wysokości stożka H i położenia przekroju stożka z.

[41]

Obliczenie masy obiektu o kształcie stożka ściętego:

Obliczenie statycznego momentu bezwładności obiektu w kształcie stożka ściętego:

Teraz ta łatwiejsza część zadania:

[44]

Zadanie 15

Wyznaczyć środek ciężkości wycinka kuli.

Rozwiązanie:

[45]

[46]

[47]

Wiedząc, że środek ciężkości bryły z osią symetrii leży w środku ciężkości przekroju tej bryły, przechodzącego przez oś jej symetrii wyznaczenie środka ciężkości wycinka kuli można obliczyć również ze wzorów [15], [17].

Zadanie 16

Obliczyć środek ciężkości wspornika z rysunku 21.

Rozwiązanie:

Dziabnąć trzeba wspornik na dwa prostopadłościany o masie dodatniej i cztery walce o masie ujemnej.

[48]

[49]

[50]

Załączniki: