Kratownice statycznie wyznaczalne

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 44819 razy

Podstawowe definicje:

Kratownica - układ nieważkich prętów połączonych węzłami, który może być obciążony jedynie siłami skupionymi w jej węzłach. Kratownice można podzielić na płaskie i przestrzenne.

Węzeł - punkt, w którym pręty kratownicy łączą się.

Pręt - element leżący pomiędzy dwoma węzłami kratownicy.

Kratownica płaska jest statycznie wyznaczalna, gdy jest możliwe wyznaczenie jej reakcji za pomocą równań równowagi, oraz gdy podwojona liczba węzłów w kratownicy jest równa sumie liczby prętów p oraz reakcji r kratownicy. Wynika to z faktu, że dla każdego węzła kratownicy płaskiej możliwe jest napisanie dwóch statycznych równań równowagi (suma rzutów sił na oś X i suma rzutów sił na oś y), natomiast liczba niewiadomych do wyznaczenia jest równa liczbie prętów i reakcji, które trzeba wyznaczyć aby możliwe było obliczenie sił w prętach.

[1]

Gdy prawa strona równania [1] jest większa od lewej, kratownica jest niedosztywniona (czyli jest mechanizmem), w przeciwnym przypadku kratownica jest przesztywniona (statycznie niewyznaczalna).

Zadanie 1

Wyznaczyć reakcje kratownicy statycznie wyznaczalnej z rysunku 1 i obliczyć siły występujące w jej prętach.

Rysunek kratownicy do zadania 1 — Rys. 1
Rysunek kratownicy statycznie wyznaczalnej z podporą przesuwną i stałą, obciążonej siłami Q.

Dane:

$a[m]; Q = /sqrt{2}[kN]; /alpha=45^{/circ}$

Rozwiązanie:

Wyznaczenie reakcji podpór kratownicy za pomocą statycznych równań równowagi:

$/Sigma X = 0: R_{ax} + Q/cdot /frac{1}{/sqrt{2}} = 0 => R_{ax} = -1[kN]$

[2]

$/Sigma M_B = 0: R_{ay}/cdot 2/cdot a -Q /cdot /frac{1}{/sqrt{2}}/cdot 1/frac{1}{2}+Q/cdot /frac{1}{/sqrt{2}}/cdot /frac{/sqrt{3}}{2}/cdot a=0/Rightarrow R_{ay}=/frac{3-/sqrt{3}}{4}/approx 0.684[kN]$

[3]

$/Sigma Y = 0:R_{ay}+R_{by}-Q/cdot /frac{1}{/sqrt{2}}=0/Rightarrow R_{ay}=/frac{1+/sqrt{3}}{4}/approx 0.317[kN]$

[4]

Teraz należy obliczyć siły w prętach kratownicy. W tym przypadku najlepiej zacząć od dowolnego węzła, w którym łączą się dwa pręty i kolejno rozpisując układy równań równowagi dla poszczególnych węzłów wyznaczać siły w prętach (kąty pomiędzy prętami kratownicy biegnącymi w na ukos są równe 60 i 30 stopni co wynika z rysunku 1).

Węzeł kratownicy z siłami S1, S2, Rax, Ray

$/Sigma Y = 0: S_1/cdot /frac{/sqrt{3}}{2}+R_{ay}=0/RightarrowS_1=/frac{R_{ay}}{/frac{/sqrt{3}}{2}}/approx -0.366[kN]$

[5]

$/Sigma X=0: S_2+R_{ax}+S_1/cdot /frac{1}{2}=0/Rightarrow S_2=1+0,366/cdot /frac{1}{2}/approx 1,168[kN]$

[6]

$/Sigma Y=0: -S_1/cdot /frac{/sqrt{3}}{2}-S_3/cdot /frac{/sqrt{3}}{2}-Q/cdot /frac{1}{/sqrt{2}}=0/Rightarrow S_3=/frac{-S_1/cdot /frac{/sqrt{3}}{2}-Q/cdot/frac{1}{/sqrt{2}}}{/frac{/sqrt{3}}{2}}/approx -0.789[kN]$

[7]

$/Sigma/, X=0:S_4+S_3/cdot/frac{1}{2}-S_1/cdot/frac{1}{2}+Q/cdot /frac{1}{/sqrt{2}}=0/Rightarrow S_4=-S_3/cdot/frac{1}{2}+S_3/cdot /frac{1}{2}-Q/cdot /frac{1}{/sqrt{2}}/approx -0.789[kN]$

[8]

$/Sigma/, Y=0: -S_5/cdot/frac{/sqrt{3}}{2}-S_6/cdot /frac{/sqrt{3}}{2}=0/Rightarrow S_5=-S_6$

[9]

$/Sigma/, X=0: -S_5/cdot/frac{1}{2}+S_6/cdot/frac{1}{2}-S_4=0/Rightarrow S_6=S_4=-0.789[kN]/Rightarrow S_5=0,789[kN]$

[10]

$/Sigma/, X=0: -S_7-S_6/cdot /frac{1}{2}=0/Rightarrow S_7=-/frac{1}{2}/cdot S_6/approx 0.394[kN]$

[11]

Dodatkowe równanie, które stanowi jedynie sprawdzenie poprawności obliczenia siły S₆:

$/Sigma/, Y=0:S_6/cdot /frac{/sqrt{3}}{2}+R_{by}=0/Rightarrow S_6=-/frac{R_{by}}{/frac{/sqrt{3}}{2}}/approx -0.789[kN]$

[12]

Węzeł kratownicy z siłami S2, S3, S5, S7

Dodatkowe równanie, które stanowi jedynie sprawdzenie poprawności obliczenia sił S₂, S₃, S₅ oraz S₇:

$/Sigma/, X=0: -S_2-S_3/cdot /frac{1}{2}+S_5/cdot /frac{1}{2}+S_7=-1.168+0.789/cdot /frac{1}{2}+0.789/cdot /frac{1}{2}+0.394=0[kN]$

[13]

$/Sigma/, Y=0: S_3/cdot /frac{/sqrt{3}}{2}+S_5/cdot /frac{/sqrt{3}}{2}=-0.789/cdot /frac{/sqrt{3}}{2}+0.789/cdot /frac{/sqrt{3}}{2}=0[kN]$

[14]

Zadanie 2

Obliczyć reakcje i siły w prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej z rysunku 2.

Rysunek kratownicy do zadania 2 — Rys. 2
Rysunek kratownicy statycznie wyznaczalnej z podporą przesuwną i stałą, obciążonej siłami P, **2⋅P**.

Dane:

a; P

Rozwiązanie:

Równania równowagi dla wyznaczenia reakcji podpór (kąty pomiędzy prętami kratownicy biegnącymi w poprzek są równe 45° co wynika z rysunku 2):

$/sum M_B=0:R_{Ay}/cdot 3/cdot a-P/cdot 2/cdot a+2/cdot P/cdot a=0/Rightarrow R_{Ay}=0[kN]$

[15]

$/sum Y=0: R_{Ay}-P+R_{By}=0/Rightarrow R_{By}=P[kN]$

[16]

$/sum X=0: R_{Bx}+2/cdot P=0/Rightarrow R_{Bx}=-2/cdot P[kN]$

[17]

Równania równowagi dla węzła A:

$/sum Y=0: S_1/cdot/frac{/sqrt{2}}{2}+R_{Ay}=0/Rightarrow S_1=0$

[18]

[19]

Równania równowagi dla węzła 3:

$/sum X=0: -S_1/cdot/frac{/sqrt{2}}{2}+S_4=0/Rightarrow S_4=0[kN]$

[20]

$/sum Y=0: -S_1/cdot/frac{/sqrt{2}}{2}-S_3-P=0/Rightarrow S_3=-P[kN]$

[21]

Równania równowagi dla węzła 1:

$/sum Y=0: S_3+S_5/cdot/frac{/sqrt{2}}{2}=0/Rightarrow S_5=P/cdot/sqrt{2}[kN]$

[22]

$/sum X=0: -S_2+S_6+S_5/cdot/frac{/sqrt{2}}{2}=0/Rightarrow S_6=-P[kN]$

[23]

Równanie równowagi dla węzła 2:

Siła S₇=0 ponieważ pręt w którym owa siła występuje nie przenosi żadnego obciążenia.

/sum X=0: -S_6+S_8=0/Rightarrow S_8=-P[kN]

[24]

Równania równowagi dla węzła 4:

$/sum Y=0: -S_5/cdot /frac{/sqrt{2}}{2}-S_7-S_9/cdot/frac{/sqrt{2}}{2}=0/Rightarrow S_9-S_5=-P/cdot /sqrt{2}[kN]$

[25]

Równanie sprawdzające poprawność obliczeń:

$/sum X=0: -S_4-S_5/cdot /frac{/sqrt{2}}{2}+S_9/cdot /frac{/sqrt{2}}{2}+2/cdot P=0$

[26]

Równanie równowagi dla węzła B sprawdzające poprawność obliczeń:

$/sum X=0: -S_8+R_{Bx}-S_9/cdot/frac{/sqrt{2}}{2}=0$

[27]

Zadanie 3 - do samodzielnego rozwiązania.

Wyznaczyć reakcje i siły w prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej z rysunku 3.

Rysunek kratownicy do zadania 3 — Rys. 3
Rysunek kratownicy statycznie wyznaczalnej z podporą przesuwną i stałą, obciążonej siłami Q₁, Q₂, Q₃, Q₄.

Dane:

a=1[m]; Q1=20[N]; Q2=50[N]; Q3=21[N]; Q4=10[N]

Odpowiedzi:

Reakcje podpór:

Siły w prętach kratownicy można odczytać z rysunku 4.

Rysunek kratownicy z obliczonymi siłami — Rys. 4
Rysunek kratownicy z naniesionymi wartościami sił w prętach.

Zadanie 4

Wyznaczyć siły w prętach 6, 7, 8 kratownicy statycznie wyznaczalnej z zadania 3.

Rozwiązanie:

Można oczywiście wyliczyć siły w prętach kratownicy metodą analityczną równoważenia węzłów (jak w zadaniach 1, 2 i 3), jednak nie oto chodzi żeby się katować niepotrzebnymi obliczeniami. Istnieje metoda przekrojów Rittera, która umożliwia szybkie wyznaczenie sił w wybranych prętach. Są jednak pewne ograniczenia, przekrój musi przecinać trzy pręty oraz wszystkie pręty nie mogą zbiegać się w jednym węźle. Jak wynika z rysunku 3, pręty w których siły należy wyliczyć spełniają te kryteria.

Po przecięciu kratownicy do wyboru do koloru mamy dwie możliwości:

liczyć siły w prętach z lewej strony przekroju kratownicy w następujący sposób (pomijam wyliczanie reakcji, ponieważ to była część zadania 3):

Lewa część przekroju kratownicy z zadania 18

Suma momentów względem punktu I:

Suma MI=0: -S6*a+Q1*a-R*a=0=>S6=-36 2/3[N]

[28]

Suma momentów względem punktu II:

Suma MII=0: S8*a+Q1*2*a+Q2*a-R*2*a=0=>S8=-23 1/3[N]

[29]

Suma rzutów sił na oś Y:

Suma Y=0: S7*2^0,5/2-Q1+r-q2=0=>S7=13 1/3[N]

[30]

lub z prawej strony przekroju kratownicy w analogiczny sposób:

Prawa część przekroju kratownicy z zadania 18

Suma momentów względem punktu I

Suma MI=0: S6*a-Q4*a-+Q3*2*a-Ray*2*a+Rax*2*a=0=>S6=-36 2/3[N]

[31]

Suma momentów względem punktu II:

Suma MII=0: -S8+Q3*a+Ray*a-Rax*a=0=>S8=-23 1/3[N]

[32]

Suma rzutów sił na oś Y:

Suma Y=0: -S7*2^0,5/2+Q3+Ray=0=>Ray=13 1/3*2^0,5[N]

[33]

Zadanie 5

Obliczyć metodą przekrojów Rittera siły S₂, S₆ i S₅ prętów kratownicy z zadania 2.

Zadanie 6

Obliczyć reakcje podpór i siły w trzech dowolnych prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej z rysunku 5. Odległość pomiędzy sąsiadującymi węzłami kratownicy w poziomie i pionie jest taka sama i równa się 1 m. Siły dane zostały na rysunku.

Rysunek kratownicy reakcjami i siłami w prętach — Rys. 5
Rysunek kratownicy z naniesionymi wartościami sił w prętach. (Kliknij na ilustracji, aby zobaczyć rysunek w powiększeniu).

Sprostowanie: nie jestem na tyle szalony, aby liczyć taką kratownicę ręcznie, ale na tyle szalony, aby napisać własny program, który tę kratownicę rozwiązał za mnie, narysował i pręty pokolorował. Mało tego, ten sam program rozpisał równania dla poszczególnych węzłów, których tutaj nie przytoczę, bo w końcu to jest część zadania.

Zadanie 7

Obliczyć reakcje i siły w prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej z rysunku 6. Odległość pomiędzy sąsiadującymi w poziomie i pionie węzłami wynosi 1 m.

Układy równań:

Węzeł: 1

Węzeł: 2

Węzeł: 3

Węzeł: 4

Węzeł: 5

Węzeł: 6

Zadanie 8

Obliczyć reakcje i siły w prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej z rysunku 7. Odległość pomiędzy sąsiadującymi w poziomie i pionie węzłami wynosi 1 m.

Układy równań:

Węzeł: 1

Węzeł: 2

Węzeł: 3

Węzeł: 4

Węzeł: 5

Węzeł: 6

Węzeł: 7

Węzeł: 8

Zadanie 9

Obliczyć reakcje i siły w prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej z rysunku 8. Odległość pomiędzy sąsiadującymi w poziomie 1 m a w pionie 1,5 m.

Węzeł: 1

Węzeł: 2

Węzeł: 3

Węzeł: 4

Węzeł: 5

Węzeł: 6

Węzeł: 7

Węzeł: 8

Węzeł: 9

Węzeł: 10

Węzeł: 11

Węzeł: 12

Węzeł: 13

Węzeł: 14

Węzeł: 15

Zadanie 10

Oblicz reakcje sił w prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej z rysunku 9, w której odległość pomiędzy prętami pionowymi wynosi 1 m a długości prętów pionowych wynosi: L₇=L₁₀=100, L₉=L₁₂=145, L₁₄=L₁₈=170, L₂₀=180.

Równania:

Węzeł: 1

Węzeł: 2

Węzeł: 3

Węzeł: 4

Węzeł: 5

Węzeł: 6

Węzeł: 7

Węzeł: 8

Węzeł: 9

Węzeł: 10

Węzeł: 11

Węzeł: 12

Węzeł: 13

Węzeł: 14

Zadanie 11

Oblicz reakcje sił w prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej z rysunku 10, w której odległość pomiędzy sąsiadującymi węzłami w poziomie i pionie wynosi 1 m.