Ciągi arytmetyczne

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 4107 razy

Definicje ciągu arytmetycznego

Ciąg liczbowy (a_n) nazywa się arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest on co najmniej trójwyrazowy, a każdy wyraz zaczynając od drugiego powstaje poprzez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej liczby r będącej różnicą ciągu.

Matematyczny zapis definicji ciągu arytmetycznego

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\bigvee_{r\in R}\bigwedge_{n\in N^+}a_{n+1}=a_{n}+r

Skończony ciąg liczbowy (a₁, a₂, ..., a_n) jest ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest co najmniej trójwyrazowy, a każdy jego wyraz zaczynając od drugiego powstaje poprzez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej liczby r będącej różnicą tego ciągu.

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Wzór rekurencyjny:

Rekurencyjny wzór na n-ty element ciągu arytmetycznego

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a_n=a_{n-1}+r

Wzór bezpośredni:

Bezpośredni wzór na n-ty element ciągu arytmetycznego

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a_n=a_{1}+(n-1)\cdot r

Suma początkowych elementów ciągu arytmetycznego

Wzór na sumę początkowych n elementów ciągu arytmetycznego wygląda następująco:

Wzór na sumę n początkowych elementów ciągu arytmetycznego

[4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}=\frac{\left[2\cdota_1+(n-1)\cdot r\right]\cdot n}{2}

Interpretacja graficzna powyższego wzoru dla ciągu arytmetycznego, którego pierwszy element a₁ = 1, zaś różnica r = 2 widoczna jest na poniższym rysunku.

Rys. 1
Graficzna interpretacja sumy n początkowych elementów ciągu arytmetycznego jako pole powierzchni połowy prostokąta o wymiarach **a₁ + a₄ = 8** na **n = 4**

Monotoniczność ciągu arytmetycznego

Ciąg arytmetyczny jest rosnący, gdy r > 0.

Ciąg arytmetyczny jest malejący, gdy r < 0.

Ciąg arytmetyczny jest stały, gdy r = 0.

Właściwości elementów ciągu

Gdy dane są dwa elementy ciągu arytmetycznego takie, że różnica ich indeksów jest podzielna przez dwa, to możliwe jest wyliczenie elementu pośredniego w następujący sposób: