Efekt Doplera

Stronę tą wyświetlono już: 3703 razy

Najprostszy przypadek efektu Dopplera

Każdy z nas kiedyś słyszał, jak przejeżdżająca na sygnale karetka czy też radiowóz policyjny zmienia natężenie dźwięku w trakcie mijania. Zjawisko to jako pierwszy zauważył Christian Andreas Doppler. W zrozumieniu tego zjawiska może pomóc poniższa ilustracja, pokazująca jak fala akustyczna generowana przez poruszające się źródło dźwięku rozchodzi się w nieruchomym ośrodku.

Na podstawie powyższej ilustracji można stwierdzić jednoznacznie, że obiekt, który wygenerował pokazane na niej fale akustyczne poruszał się w prawo. Znając skalę związaną z tą grafiką oraz prędkość rozchodzenia się dźwięku w ośrodku, dla którego została ona wygenerowana można by było określić również prędkość tego obiektu. Jednakże, aby wyjaśnić dlaczego jest to możliwe trzeba najpierw rozpatrzyć najprostszy z możliwych przypadków i ustawić obserwatora na linii ruch obiektu.

Długość fali, jaką będzie odbierał obserwator O, gdy źródło będzie się zbliżało do niego ulegnie skróceniu o odległość równą:

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

l=V_z\cdot T

co oznacza, że długość fali akustycznej odbieranej przez obserwatora wynosi:

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lambda_O=\lambda_z-V_z\cdot T

Częstotliwość dźwięku odbieranego przez obserwatora O można więc wyliczyć w następujący sposób:

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f_O=\frac{V}{\lambda_O}=\frac{V}{\lambda_z-V_z\cdot T}

gdzie:

• λ_Z - długość fali akustycznej związanej z przemieszczającym się obiektem;
• λ_O - długość fali akustycznej odbieranej przez obserwatora O;
• f_O - częstotliwość dźwięku odbieranego przez obserwatora O;
• V - prędkość rozprzestrzeniania się dźwięku w danym ośrodku;
• V_Z - prędkość przemieszczania się źródła dźwięku;
• T - okres fali akustycznej.

Długość fali akustycznej λ_Z można zastąpić następującą zależnością:

[4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lambda_z=\frac{V}{f_Z}

gdzie:

• λ_Z - długość fali akustycznej związanej z poruszającym się źródłem;
• V - prędkość dźwięku w danym ośrodku;
• f_Z - częstotliwość dźwięku związana z jego źródłem.

Okres T z kolei można zastąpić następującą zależnością:

[5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

T=\frac{1}{f_Z}

Podstawiając zależności [4] i [5] do [3] otrzymuje się następującą zależność:

[6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f_O=\frac{V\cdot f_Z}{V-V_Z}

Gdy obserwator O stoi idealnie na linii ruchu źródła dźwięku to powyższy wzór jest prawdziwy a jego liniowa natura każe stwierdzić, że najniższą częstotliwość dźwięku jaką można odczytać z rysunku 1 wyznacza również kierunek ruchu obiektu.

Przypadek trudniejszy efektu Dopplera

Chyba nikogo nie muszę przekonywać, że stanie na drodze źródła dźwięku jakim jest przejeżdżająca karetka nie jest najszczęśliwszym pomysłem. W związku z czym praktycznie zawsze obserwator nie stoi na drodze źródła dźwięku a w pewnej odległości od prostej, po której to źródło się porusza (tak jak to pokazane zostało na poniższej ilustracji).

Na powyższej ilustracji obserwatora O umieściłem w środku układu współrzędnych, natomiast w pewnej chwili t₀ = 0 poruszające się źródło dźwięku Z znajduje się w punkcie P_Z. Prędkość V_Z źródła Z jest wielkością wektorową. Teraz można określić zależność zmiany położenia źródła Z po czasie t:

[7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{P(t)}=\vec{V}\cdot t+\vec{P_0}

Długość wektora P(t) wyznacza odległość l(t) pomiędzy obserwatorem O a źródłem Z, czyli:

[8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

l(t)=\left|\vec{P(t)}\right|=\left|\vec{V}\cdot t+\vec{P_0}\right|=\sqrt{(V_x\cdot t+P_{0x})^2+(V_y\cdot t+P_{0y})^2}

Pochodna l(t) po czasie t to nic innego jak prędkość zmiany odległości obserwator O - źródło Z, a więc:

[9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_Z(t)=\frac{d\,l(t)}{dt}=\frac{2\cdot V_y\cdot\left( t\cdot V_y+P_{0y}\right) +2\cdot V_x\cdot\left( t\cdot V_x+P_{0x}\right) }{2\cdot\sqrt{{\left( t\cdot V_y+P_{0y}\right) }^{2}+{\left( t\cdot V_x+P_{0x}\right) }^{2}}}

W powyższym wzorze V_Z(t) jest to prędkość zbliżania się źródła Z do obserwatora O zmieniająca się w czasie.

Zakładając pewne przykładowe wartości:

Wzór V_Z(t) po podstawieniu wyżej wymienionych wartości upraszcza się do postaci:

[10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V(t)=-\frac{10\cdot\left(10-10\cdot t\right)}{\sqrt{{\left( 10-10\cdot t\right)}^{2}+25}}

Wykres powyższej funkcji z znakiem przeciwnym pokazany został na poniższym wykresie.

Funkcja opisująca zmianę odległości l(t) wygląda następująco:

[11]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

l(t)=\sqrt{{\left( -10\cdot t+10\right) }^{2}+25}

Natomiast jej wykres pokazany został na poniższej ilustracji.

Warto podstawić wzór [8] do wzoru [6] by uzyskać zależność zmiany częstotliwości f_O(t). Pamiętać należy jednak, że wzór [8] zwraca prędkość ujemną gdy obiekt się zbliża natomiast w wzorze [6] powinno się podstawiać w takim przypadku wartość dodatnią prędkości z czego wynika, że trzeba zmienić znak w wzorze [8] na przeciwny, by uzyskać po odpowiednim uproszczeniu taki oto wzór:

[12]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\mathrm{f_o}\left( t\right) =\frac{60\cdot\sqrt{100\cdot{t}^{2}-200\cdot t+125}}{\sqrt{100\cdot {t}^{2}-200\cdot t+125}+t-1}