Całki podwójne - obliczanie pól powierzchni i objętości

Stronę tą wyświetlono już: 6592 razy

Zadanie 1 Obliczyć pole powierzchni figury płaskiej ograniczonej od dołu funkcją

oraz od góry funkcją

g(x)=-x^4+1

w przedziale od -1 do 1.

Rozwiązanie:

Na podstawie wykresu pokazanego na rysunku 1 funkcji f(x), g(x) można a nawet trzeba zapisać wzór na pole powierzchni figury zawartej pomiędzy tymi funkcjami w następujący sposób:

Konstrukcja rozwiązywania tego typu zadań za pomocą całek podwójnych doprowadza do takiego samego rozwiązania jak w przypadku zastosowania różnicy pól powierzchni całek z funkcji f(x), g(x).

Wykres funkcji <b>f(x)</b>, <b>g(x)</b> w przedziale od <b>-1</b> do <b>1</b>.
Rys. 1
Wykres funkcji f(x), g(x) w przedziale od -1 do 1.

Zadanie 2 Obliczyć pole powierzchni figury płaskiej ograniczonej od dołu funkcją

oraz od góry funkcją

w przedziale od 0 do 1.

Wykres funkcji <b>f(x)</b>, <b>g(x)</b> w przedziale od <b>0</b> do <b>1</b>.
Rys. 2
Wykres funkcji f(x), g(x) w przedziale od 0 do 1.

Rozwiązanie:

Zadanie 3 Wyprowadzić wzór na pole powierzchni wycinka okręgu o danym promieniu R i kącie α.

Rysunek pomocniczy do zadania 3
Rys. 3
Wycinek okręgu z ważnymi dla wyprowadzenia wzoru wielkościami fizycznymi.

Rozwiązanie:

Elementarne pole powierzchni dF można zapisać w następujący sposób:

gdzie:

  • r - elementarna długość łuku elementarnego pola powierzchni dF;
  • dr - elementarna szerokość elementarnego pola powierzchni dF.

Granice całkowania dla Φ:

Granice całkowania dla r:

Wyprowadzenie wzoru:

Zadanie 4 Obliczyć pole powierzchni części okręgu o promieniu R ściętej cięciwą jak na rysunku 19.

Rysunek pomocniczy do zadania 4
Rys. 4
Wycinek okręgu z ważnymi dla wyprowadzenia wzoru wielkościami fizycznymi.

Rozwiązanie:

Górną granicę stanowi promień R okręgu, zaś dolną granicę opisuje zależność:

wartość a można wyznaczyć w następujący sposób:

ostatecznie więc dolna granica całkowania dana jest zależnością:

Jeszcze tylko uzależnienie wartości kąta α od kąta β:

oraz opis granic całkowania dla kąta Φ:

i można przystąpić do wyznaczenia pola powierzchni wycinka okręgu:

Zadanie 5 Wyznaczyć wzór na pole powierzchni pod wykresem spirali Archimedesa w zakresie kąta φ od 0 do 2π i o danej wartości promienia Rmax.

Rysunek pomocniczy do zadania 4
Rys. 5
Spirala Archimedesa z ważnymi dla wyprowadzenia wzoru wielkościami fizycznymi.

Rozwiązanie:

Na rysunku 5 rozpisane zostały wszystkie informacje niezbędne do obliczenia pola powierzchni zawartego pod wykresem spirali Archimedesa, więc bez zbytnich ceregieli wyprowadzenie wzoru jest następujące:

Zadanie 6 Obliczyć objętość bryły ograniczonej od góry funkcją h(x,y) od dołu zerem nad obszarem całkowania znajdującym się pomiędzy wykresem funkcji

a wykresem funkcji

w przedziale 0.5 do 3.5.

Wykres funkcji <b>f(x)</b>, <b>g(x)</b> w przedziale od <b>0.5</b> do <b>3.5</b>.
Rys. 6
Wykres funkcji f(x), g(x) w przedziale od 0.5 do 3.5.

Funkcja h(x,y) ma następującą postać:

a jej wykres można obejrzeć na poniższym rysunku.

Wykres funkcji <b>h(x,y)</b>.
Rys. 7
Wykres funkcji h(x,y).

Rozwiązanie:

Objętość bryły nad obszarem całkowania obliczyć można w następujący sposób:

zaś od góry funkcją:

po obszarze całkowania od x=-2 do x=2 oraz od y=-2 do y=2.

Wykres funkcji <b>g(x,y)</b>.
Rys. 8
Wykres funkcji g(x,y).

Rozwiązanie:

Zadanie 8 Oblicz objętość bryły nad powierzchnią znajdującą się pomiędzy okręgiem danym równaniem:

a okręgiem opisanym równaniem:

której dolna granica znajduje się w płaszczyźnie XY natomiast górną opisuje funkcja:

Obszar całkowania jak z resztą widać na rysunku 9 jest łatwo opisać w współrzędnych biegunowych, zaś trudno w współrzędnych kartezjańskich.

Wykres obszaru całkowania.
Rys. 9
Wykres obszaru całkowania.

Z kolei funkcja podcałkowa f(x,y) jest zapisana we współrzędnych kartezjańskich 3W. Powstaje więc swego rodzaju konflikt pomiędzy jednym a drugim typem układu współrzędnych.

Wykres funkcji będącej górną granicą całkowania.
Rys. 10
Wykres funkcji będącej górną granicą całkowania.

Istnieje na szczęście pewna metoda umożliwiająca odwzorowanie funkcji f(x,y) w układzie współrzędnych biegunowych pod warunkiem, że:

  1. funkcja f(x,y) jest całkowalna w obszarze Ω;
  2. istnieją funkcje x(u,v), y(u,v), które są różniczkowalne w obszarze U
  3. jakobian przekształcenia J obszaru Ω w obszar U wyliczany w następujący sposób:
    Równanie [1] [1]

    Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

    J=\begin{vmatrix}\cfrac{\partial x}{\partial u} & \cfrac{\partial x}{\partial v}\\ \cfrac{\partial y}{\partial u} & \cfrac{\partial y}{\partial v} \end{\vmatrix}

    ma wartość różną od zera.

    w wzorze [1]:

    frac{partial x}{partial r} (czyt. pochodna cząstkowa funkcji x po zmiennej r) pochodna cząstkowa funkcji x(r,α) po zmiennej r.
    frac{partial x}{partial alpha} pochodna cząstkowa funkcji x(r,α) po zmiennej α.
    frac{partial y}{partial r} pochodna cząstkowa funkcji y(r,α) po zmiennej r.
    frac{partial y}{partial alpha} pochodna cząstkowa funkcji y(r,α) po zmiennej α.

W wyżej wymienionych warunkach możliwe jest zastosowanie następującego wzoru ogólnego:

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\int\int_\Omega f(x,y)\,dx\,dy=\int\int_U f(u,v)\cdot J(u,v,w)\,du\,dv

dla współrzędnych biegunowych funkcje x(r, α), y(r, α) przyjmują następującą postać:

Równanie [3] [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x(r,\alpha)=r\cdot\cos\alpha

Równanie [4] [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

y(r,\alpha)=r\cdot\sin\alpha

zaś jakobian przekształcenia można wyliczyć wykorzystując z zależności [1] w następujący sposób:

Równanie [5] [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

J(r,\alpha)=\begin{vmatrix}\cfrac{\partial x}{\partial r} & \cfrac{\partial x}{\partial \alpha}\\ \cfrac{\partial y}{\partial r} & \cfrac{\partial y}{\partial \alpha} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\cos\alpha & -r\cdot\sin\alpha\\ \sin\alpha & r\cdot \cos\alpha \end{vmatrix}=r\cdot\cos^2\alpha+r\cdot\sin^2\alpha=r

Pozostała zamiana funkcji f(x,y) na funkcję f(r,α):

Teraz można przystąpić do rozwiązania zadania zgodnie z wzorem [2]:

Bryła, której objętość właśnie obliczono jest walcem o promieniu 2, wysokości 2 z wyciętym otworem o promieni 1 i stożkiem o promieniu 2 o wysokości 2.

Zadanie 9 Obliczyć objętość bryły nad i pod obszarem opisanym równaniem okręgu:

leżącym w płaszczyźnie XY i ograniczonych funkcją

Obszar ograniczający jest okręgiem o promieniu r=3

Wykres obszaru całkowania.
Rys. 11
Wykres obszaru całkowania.

zaś funkcja f(x,y) jest płaszczyzną przecinającą oś y pod kątem 45° w stosunku do płaszczyzny xy.

Funkcja <b>f(x,y)</b>.
Rys. 12
Funkcja f(x,y).

Rozwiązanie:

Dla lepszego poglądu, warto naszkicować kształt bryłki, której objętość V należy obliczyć. Z rysunku 12 wynika jednoznacznie, że połowa objętości bryły znajduje się nad płaszczyzną XY w związku z czym całka po całym obszarze będzie równa zero (część objętości znajdującej się poniżej płaszczyzny XY przyjmie ujemną wartość), aby obliczyć objętość V należy ograniczyć obszar całkowania do części bryłki znajdującej się nad płaszczyzną XY. W ten jakże przebiegły sposób obliczona zostanie połowa objętości całej bryły.

Rysunek pomocniczy do zadania 3
Rys. 13
Szkic bryłki.

Po raz kolejny należy zastosować mechanizm z zadania 8 w celu zamiany funkcji f(x,y) w funkcję f(r,α) i zastosowania wzoru [9]. Zanim jednak to się stanie warto rozpisać granice obszaru całkowania:

Zamiana funkcji f(x,y) w funkcję f(r,α):

Jakobian przekształcenia:

Podstawienie do wzoru [2]:

Zadanie 10 Obliczyć pole powierzchni funkcji

dla x z przedziału <0,2>, oraz dla y z przedziału <0,2>.

Funkcja <b>f(x,y)</b> w przedziale całkowania.
Rys. 14
Funkcja f(x,y) w przedziale całkowania.

Obliczenie pola powierzchni funkcji f(x,y) umożliwia następujący wzór:

Równanie [6] [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_p=\int\int_{\Omega}\sqrt{1+\left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\right)^2}\,dx\,dy

gdzie:

frac{partial f(x,y)}{partial x} (czyt. pochodna cząstkowa funkcji f(x,y) po zmiennej x) pochodna cząstkowa funkcji f(x,y) po zmiennej x.
frac{partial f(x,y)}{partial y} pochodna cząstkowa funkcji f(x,y) po zmiennej y.

Rozwiązanie:

Komentarze