Stronę tą wyświetlono już: 13008 razy
Obliczanie pola powierzchni figury płaskiej jest ściśle powiązane z iloczynem wektorowym dwóch wektorów. Okazuje się bowiem, że wystarczy zastosować wzór [1] dla danej figury płaskiej, która musi spełniać jeden ważny warunek, a mianowicie taki, że nie może być to figura, w której dwa dowolne boki się z sobą przecinają.
[1] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
W wyniku iloczynu wektorowego otrzymuje się wektor prostopadły do danych wektorów, którego połowa długości jest równa polu powierzchni trójkąta zbudowanego na tych wektorach. W związku z tym wystarczy wyznaczyć długość wektora końcowego, aby otrzymać pole powierzchni danej płaszczyzny. Graficznie jak wygląda takie obliczanie pola powierzchni pokazuje rysunek 1.
We wzorze [1] można zastąpić iloczyn wektorowy wyznacznikiem dwóch wektorów 2W w sposób następujący:
[2] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Dla uściślenia w wzorze [2] najpierw liczona jest suma wyznaczników z różnicy wektorów Pi-P1 oraz Pi+1-P1 a następnie wyznaczana jest wartość bezwzględna z otrzymanej sumy pomnożonej przez 1 / 2. Piszę to, bo niestety symbol | wyrażenie | ma wieloznaczne znaczenie w matematyce.
Poniżej zamieszczam tabelkę zestawień obliczenia pola powierzchni figury z rysunku 1.
x | y | x-x1 | y-y1 | z | |
P1= | 3 | 4 | 0 | 0 | |
P2= | 13 | 4 | 10 | 0 | 0 |
P3= | 13 | 6 | 10 | 2 | 20 |
P4= | 9 | 6 | 6 | 2 | 8 |
P5= | 9 | 12 | 6 | 8 | 36 |
P6= | 13 | 12 | 10 | 8 | -32 |
P7= | 13 | 14 | 10 | 10 | 20 |
P8= | 3 | 14 | 0 | 10 | 100 |
P9= | 3 | 12 | 0 | 8 | 0 |
P10= | 7 | 12 | 4 | 8 | -32 |
P11= | 7 | 6 | 4 | 2 | -24 |
P12= | 3 | 6 | 0 | 2 | 8 |
Suma razy 1/2 (Ppow)= | 52 |
Z zestawienia jasno wynika, że pole powierzchni Ppow jest równe 52[j2]. I rzeczywiście figura z rysunku 1 składa się z dwóch prostokątów o wymiarach 2 na 10 i jednego o wymiarach 2 na 6 co razem licząc daje pole powierzchni równe 52 [j2].
Ktoś może przyczepić się, że w zestawieniu obliczam tylko składową z wektora otrzymanego z mnożenia wektorowego. Otóż przypominam, że iloczyn wektorowy zwraca wektor prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez mnożone wektory, a ponieważ tak się składa, że te wektory leżą w płaszczyźnie XY, więc tylko składowa Z będzie tu miała znaczenie.
Jeżeli chodzi o obliczanie pól powierzchni figur płaskich, które się przecinają same z sobą, to można policzyć ich pole powierzchni, ale konieczny jest podział takiej figury na części mniejsze jak to zostało pokazane na rysunku 2.