Zastosowanie metod rozwiązywania układów równań liniowych w interpolacji punktów funkcją wielomianową

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 2185 razy

Interpolacja polega na niczym innym jak na znalezieniu takiej funkcji f(x), która przechodzi przez zadane punkty interpolacyjne p₁, p₂, ..., p_n. W tym przypadku zajmiemy się wyznaczaniem funkcji wielomianowej, która będzie przechodziła przez zadane punkty.

Wielomianem nazywamy funkcję, którą można zapisać ogólnym wzorem:

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f(x)=a_1\cdot x^0+a_2\cdot x^1+...+a_n\cdot x^n

lub w postaci:

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f(x)=\sum_{i=1}^{n}a_i\cdot x^{i-1}

Znając wcześniej już wspomniane punkty p₁, p₂, ..., p_n można ułożyć n równań, w których jedynymi niewiadomymi są współczynnik a₁, a₂, ..., a_n. Układ takich równań będzie prezentował się więc następująco:

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases}y_1=a_1\cdot x_1^0+a_2\cdot x_1^1+...+a_n\cdot x_1^n \\ y_2=a_1\cdot x_2^0+a_2\cdot x_2^1+...+a_n\cdot x_2^n \\ \; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\vdots \\y_n=a_1\cdot x_n^0+a_2\cdot x_n^1+...+a_n\cdot x_n^n\end{cases}

lub w postaci:

[4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases}y_1=\sum_{i=1}^n a_i\cdot x_1^{i-1} \\ y_2=\sum_{i=1}^n a_i\cdot x_2^{i-1} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\vdots \\ y_n=\sum_{i=1}^n a_i\cdot x_n^{i-1}\end{cases}

gdzie:

y_k - współrzędna y punktu interpolacyjnego P_k
x_k - współrzędna z punktu interpolacyjnego P_k

Rozwiążmy więc jakieś proste zadanie:

Dane są punkty interpolacyjne: P₁={0; 100}; P₂={2; 228}; P₃={8; 1092}; P₄={4; 564}. Wyznacz interpolację wielomianową tych punktów.

Rozwiązanie:

Naj sam przód trzeba nam zapisać układ równań:

[5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases}a_1\cdot x_1^0+a_2\cdot x_1^1+a_3\cdot x_1^2+a_1\cdot x_1^3=y_1 \\ a_1\cdot x_2^0+a_2\cdot x_2^1+a_3\cdot x_2^2+a_1\cdot x_2^3=y_2 \\ a_1\cdot x_3^0+a_2\cdot x_3^1+a_3\cdot x_3^2+a_1\cdot x_3^3=y_3 \\ a_1\cdot x_4^0+a_2\cdot x_4^1+a_3\cdot x_4^2+a_1\cdot x_4^3=y_4\end{cases}=\begin{cases}a_1=100 \\ a_1+a_2\cdot 2+a_3\cdot 2^2+a_4\cdot 2^3=228 \\ a_1+a_2\cdot 8+a_3\cdot 8^2+a_4\cdot 8^3=1092 \\ a_1+a_2\cdot 4+a_3\cdot 4^2+a_4\cdot 4^3=564\end{cases}

Tera robimy macierz:

[6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{bmatrix} 1 && 0 && 0 && 0 && 100 \\ 1 && 2 && 4 && 8 && 228 \\ 1 && 8 && 64 && 512 && 1092 \\ 1 && 4 && 16 && 64 && 564 \end{bmatrix}

a ponieważ tak się dziwnie składa, że kiedyś napisałem sobie mały konsolowy programik, który rozwiązuje układy równań metodą eliminacji Gaussa, wystarczy mu podać na wejście takie oto dane:

4 1 0 0 0 100 1 2 4 8 228 1 8 64 512 1092 1 4 16 64 564

Aby program w ramach rekompensaty wypluł na ekran rozwiązanie:

Przeliczanie macierzy do postaci macierzy jednostkowej: 1 0 0 0 100 1 2 4 8 228 1 8 64 512 1092 1 4 16 64 564 Etap 1: 1 0 0 0 100 1 2 4 8 228 1 8 64 512 1092 1 4 16 64 564 1 0 0 0 100 0 2 4 8 128 0 8 64 512 992 0 4 16 64 464 Etap 2: 1 0 0 0 100 0 1 2 4 64 0 8 64 512 992 0 4 16 64 464 1 0 0 0 100 0 1 2 4 64 0 0 48 480 480 0 0 8 48 208 Etap 3: 1 0 0 0 100 0 1 2 4 64 0 0 1 10 10 0 0 8 48 208 1 0 0 0 100 0 1 0 -16 44 0 0 1 10 10 0 0 0 -32 128 Etap 4: 1 0 0 0 100 0 1 0 -16 44 0 0 1 10 10 -0 -0 -0 1 -4 1 0 0 0 100 0 1 0 0 -20 0 0 1 0 50 -0 -0 -0 1 -4

Rozwiązanie naszego układu równań jest więc następujące: