Definicja aksjomatyczna prawdopodobieństwa i właściwości prawdopodobieństwa
Stronę tą wyświetlono już: 9022 razy
Niechaj Ω składa się z n zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i niechaj zdarzenie losowe A⊂Ω. W takowym przypadku każdemu zdarzeniu losowemu A przyporządkowujemy liczbę P(A) zwaną prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A i spełniającą warunki:
1) P(A)≥0;
2) P(A)=P(Ω)=1 - prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego;
3) P(A∪B)=P(A)+P(B) (założenie A∩B=ϕ) - prawdopodobieństwo zdarzeń wykluczających się jest równe sumie prawdopodobieństwa tych zdarzeń.
Właściwości prawdopodobieństwa:
1) Prawdopodobieństwo zdarzenia, któremu nie sprzyja żadne zdarzenie elementarne jest równe zeru P(ϕ)=0;
2) Prawdopodobieństwo dwóch zdarzeń A i B jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń pomniejszonej o prawdopodobieństwo części wspólnej tych zdarzeń P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B);
Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia A jest równe różnicy prawdopodobieństwa zdarzenia pewnego (którego wartość wynosi 1) i zdarzenia A czyli P(A')=1-P(A)
Zadanie 1
W urnie są 4 kule białe i 5 kul czarnych. Losowo wybrano dwie kule. Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kul tego samego koloru.
Rozwiązanie:
Doświadczenie dwuetapowe. Zbiór Ω tworzą dwuelementowe kombinacje bez powtórzeń zbioru 9-cio elementowego.
[1] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
A - zdarzenie w którym wylosowano kule tego samego koloru (A1 - dwie kule białe lub A2 - dwie kule czarne).
Możemy zapisać, że zdarzenie A=A1+A2. Przy czym część wspólna zbiorów A1∪A2=ϕ (jest zbiorem pustym). Tym samym w tym przypadku prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe:
[2] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Obliczamy liczebność zbiorów A1 i A2:
Pozostaje jedynie podstawić do zależności [2]:
Prawdopodobieństwo wylosowania kul tego samego koloru jest równe w przybliżeniu 44,4%
Zadanie 2
Z talii 24 kart losowo wybrano jedną. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kiera lub karty koloru czerwonego.
Rozwiązanie:
Doświadczenie jednoetapowe, więc
A zdarzenie, w którym wylosowano kiera (A1) lub wylosowano kartę koloru czerwonego (A2)
Rozwiązaniem jest P(A)=P(A1∩A2).
Liczebność zbioru A1 wynosi
Liczebność zbioru A2 wynosi
Część wspólna zbiorów A1∩A2 wynosi
Teraz, skoro wszystko już wiadomo można policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia A:
[6] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Prawdopodobieństwo wylosowania kiera lub karty koloru czerwonego jest równe 50%
Tytuł:
Matematyka w uczeniu maszynowym
Autor:
Marc Peter Deisenroth, A. Aldo Faisal, Cheng Soon Ong
Tytuł:
Matematyka dyskretna dla praktyków. Algorytmy i uczenie maszynowe w Pythonie
Autor:
Ryan T. White, Archana Tikayat Ray
Tytuł:
Matematyka w Pythonie. Algebra, statystyka, analiza matematyczna i inne dziedziny
Autor:
Amit Saha
Tytuł:
Matematyka dla menedżerów. Wydanie II
Autor:
Michael C. Thomsett
Tytuł:
Matematyka Poradnik encyklopedyczny
Autor:
I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew
Tytuł:
Matematyka finansowa
Autor:
Jacek Jakubowski, Andrzej Palczewski, Marek Rutkowski, Łukasz Stettner
Tytuł:
Proste jak pi Matematyka to bułka z masłem
Autor:
Liz Strachan
Tytuł:
O twierdzeniach i hipotezach. Matematyka według Delty
Autor:
Witold Sadowski, Wiktor Bartol
Tytuł:
Matematyka dla biologów
Autor:
Dariusz Wrzosek
Tytuł:
Matematyka dla programistów Java
Autor:
Jacek Piechota