Silnia
Stronę tą wyświetlono już: 7015 razy
Operator silni, którego symbolem jest wykrzyknik dany jest następującym wzorem:
Oczywiście liczba n musi należeć do zbioru liczb naturalnych N, a argumenty dla kolejno po sobie następujących wartości liczby n rosną bardzo szybko:<
- 1!=1
- 2!=2
- 3!=6
- 4!=24
- 5!=120
- 6!=720
- 7!=5040
- 8!=40320
- 9!=362880
- 10!=3628800
Najbardziej znane zastosowanie operator silni znajduje w podstawowych wzorach wyznaczających prawdopodobieństwo zdarzeń. I tak na przykład permutacja bez powtórzeń n-elementowego zbioru obliczana jest według następującej zależności:
Permutacja bez powtórzeń zbioru n-elementowego określa liczbę wszystkich możliwych ułożeń elementów danego zbioru, jeżeli więc dany będzie zbiór 10 różnych elementów, to liczba możliwych ułożeń owych elementów wynosić będzie 10!=3628800.
Permutacja z powtórzeniami n-elementowego zbioru składającego się z k różnych elementów dana jest następującym wzorem:
[3] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
i określa ona, liczbę możliwych ułożeń zbioru, w którym co najmniej jeden z k różnych elementów zbioru powtarza się więcej niż jeden raz, a n1, n2,...,nk są liczbami powtórzeń danego elementu w danym zbiorze. Suma owych powtórzeń jest równa n.
Również wzór na k-elementową wariację bez powtórzeń n-elementowego zbioru wykorzystuje silnię w następujący perfidny sposób:
W wzorze [4] musi być spełniony następujący warunek k≤n, przy czym gdy k=n równie dobrze można zastosować wzór [2], ponieważ 0!=1.<
Wzór na wariację k-elentową bez powtórzeń zbioru n-elementowego nie zawiera co prawda operatora silni, jednakże przy okazji warto go tutaj mimo wszystko przedstawić:
Kombinacja k-elementowa bez powtórzeń zbioru n-elementowego można obliczyć według wzoru następującego:
W wzorze [6] musi zostać zachowany następujący warunek k≤n.
Kombinacja k-elementowa z powtórzeniami zbioru n-elementowego z kolei może zostać obliczona za pomocą wzoru następującego:
[7] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
Wymienione tutaj wzory umożliwiają obliczenie prawdopodobieństwa zdarzeń, związanych z skończonymi zbiorami rozwiązań, np odwrotność permutacji bez powtórzeń określa prawdopodobieństwo ułożenia wszystkich elementów danego zbioru według jednej wybranej kolejności.
Operator silni wykorzystywany jest w szeregu Taylora, wyznaczającym wartości funkcji trygonometrycznych w następujący sposób:
[8] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
[9] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
[10] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
gdzie:
- Bn - liczby Bernoulliego
[11] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
gdzie:
Tytuł:
Matematyka w uczeniu maszynowym
Autor:
Marc Peter Deisenroth, A. Aldo Faisal, Cheng Soon Ong
Tytuł:
Matematyka dyskretna dla praktyków. Algorytmy i uczenie maszynowe w Pythonie
Autor:
Ryan T. White, Archana Tikayat Ray
Tytuł:
Matematyka w Pythonie. Algebra, statystyka, analiza matematyczna i inne dziedziny
Autor:
Amit Saha
Tytuł:
Matematyka dla menedżerów. Wydanie II
Autor:
Michael C. Thomsett
Tytuł:
Matematyka Poradnik encyklopedyczny
Autor:
I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew
Tytuł:
Matematyka finansowa
Autor:
Jacek Jakubowski, Andrzej Palczewski, Marek Rutkowski, Łukasz Stettner
Tytuł:
Proste jak pi Matematyka to bułka z masłem
Autor:
Liz Strachan
Tytuł:
O twierdzeniach i hipotezach. Matematyka według Delty
Autor:
Witold Sadowski, Wiktor Bartol
Tytuł:
Matematyka dla biologów
Autor:
Dariusz Wrzosek
Tytuł:
Matematyka dla programistów Java
Autor:
Jacek Piechota